『コンビネーションと素因数』

以下、pを素数とする。
実数xに対して、xを越えない最大の整数を[x]と書く事にする。

【問題１】

aとbを正の実数とする。

[a+b]≧[a]+[b]を示せ。

【問題２】

任意の1≦r≦n-1に対して、
_nＣ_rがpで割り切れるための、nの必要十分条件

• (1) n=p^l(lは自然数)と書けるとき、
  任意の1≦r≦p^l-1に対して、 p^lＣrはpで割り切れる。

• (2) nが(1)のような形に書けないとき、
  条件1≦f≦n-1を満たすある自然数fに対して 、
  _nＣ_fはpで割り切れない。

【問題３】

任意の0≦r≦nに対して、
_nＣ_rがpで割り切れないための、nの必要十分条件

• (1) n=u*p^l-1
  （ただし、lは0以上の整数、uは1以上かつp-1以下の自然数）と書けるとき、
  任意の0≦r≦nに対して、_nＣ_rがpで割り切れない。

• (2) nが(1)のような形に書けないとき、
  ある自然数f'に対して、 _nＣ_f'はpで割り切れる。

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_nＣ_rのpの指数は、

∞ Σ i=1

{[

n pi

]-[

r pi

]-[

n-r pi

]}である。

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◆追加問題

【問題４】

_nC₁、_nC₂、････、_nC_n-1の最大公約数は

n=p^lのとき、p
そうでないとき、1

であることを示せ。

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