Collatz−角谷の問題

　任意の自然数χがあり、χが偶数の時は２で割り、
奇数の時は３倍して１を加える。
新たにできた数について同じことを繰り返すと最後には１なる。

３倍して１を足すと偶数になるのを考慮して関数表現をすれば

となる。

(ｋはＴ_（χ）が奇数になる様に選ぶ)

これはコラッツ関数から生成される数列から偶数を除いた数列を作り出す。
この関数を繰り返すことで、任意の奇数が最終的には　１→１のループに至ることが示されればコラッツ問題の証明となります。

　証明の手順

1. まずはじめに、この関数の逆関数を考えます。

2. 任意の奇数に逆関数を適用し、
   生成される数列のすべてについてさらに逆関数を繰り返す。

3. その結果生成される数列が、
   �@１を除くすべての奇数で発散することと、
   �A１の場合以外にはループにならない
   ことを示す。

�B Ｔ^-1_（ｔ）＝４ｔ＋１ ・・・ Ｔ^−１_（ｔ）＝１ （ｍｏｄ６）

　ここで、８χ＋１、８χ＋３、８χ＋７が生成され、
８χ＋５が生成されないように見えますが
これは�@�Aで生成される数および３の奇倍数 ａ_０ を初項として
ａ₁＝４ａ₀＋１、ａ₂＝４ａ₁＋１、・・・、ａ_n＝４ａ_n-1＋１
とする数列のａ_１〜ａ_ｎに含まれる。・・・・・�C

これらはコラッツの関数を適用すると
Ｔ（a₀）＝Ｔ（a₁）＝・・・Ｔ（a_n）となる。・・・�D
この数列に含まれる数の集合を集合ａ₀などと呼ぶこととする。

以上ですべての奇数についての写像が完成しました。
また、数列�Dのすべての和集合はすべての奇数の集合でありかつ重複がない。

最初の方を表にまとめると

χ	T-1(χ)
T(χ)	χ
1	1	5	21	85	341	1365
5	3	13	53	213	853	3413
7	9	37	146	597	2389	9557
11	7	29	117	469	1877	7509
13	17	69	277	1109	4437	17749
17	11	45	181	725	2901	11605
19	25	101	405	1621	6485	25941
23	15	61	245	981	3925	15701
25	33	133	533	2133	8533	34133
29	19	77	309	1237	4949	19797
31	41	165	661	2645	10581	42325
35	23	93	373	1493	5973	23893
37	49	197	789	3157	12629	50517
41	27	109	437	1749	6997	27989

逆関数を使い、小さい数字から調査します。

１の場合１を初項とする数列（集合１）に射影される。
１→１の場合ループであるが、その他の場合は自分自身より大きくなる。
また、ループを構成する数を初項とする集合からは再びループが生じることはないので、集合１の各元から生成される数はループになることはない。

３の場合、３より大きくなる。

５の場合の写像は集合３になり、自分自信より小さくなるのは３のみ。
３の倍数は　４χ＋１なので５より大きくなる。

７の場合すべて自分自身より大きくなる。

１１の場合、自分より小さくなるのは７のみ。
７は自分自身より大きくなることがわかっているので１１より小さな数になるのは９または１１。
９は３の奇数倍。１１は自分自身。よって１１はループになるか自信より大きくなる。

任意の奇数Ｎの場合は、Ｎより小さくなるか、大きくなるかのどちらかである。
Ｎより小さな数になった場合はＮと同じになるかより大きな数になる。

以上より、すべての奇数ＮはループになるかＮより大きな数になる。

これをコラッツ関数にあてはめると
任意の奇数はループになるか自信より小さな数になるので、１−１のループ以外にループがなければ最後には１−１のループに至る。

(ｋはＴ_（χ）が奇数になる様に選ぶ)

２、逆関数。
　あらためて定義し直します。

ここで Ｓ は ２ または ４ で、Ｏ＝４、Ｆ＝２　と記号表記する。
さらに、数列を生み出すため ４χ＋１ を行うので、このために Ｔ＝４ を使用する。
また、Ｆの右肩の数字はχに対してこの関数をＮ回適用する事を意味する。

３、逆関数をＮ回行った場合（１回目に　Ｓ＝４、χ≡１（ｍｏｄ６）から開始した場合）

ここで、ｌ＋ｍ＝Ｎ−１＋ｋ、ｌ’+m'+1=N-1＋ｋ、・・・・
分子の各項中の指数の和が Ｎ−１＋ｋ となる。

また ｋ≧k'≧k''≧k'''、・・・、
l≧l'≧l''≧l'''、・・・、
m≧m'≧m''≧m'''、・・・となる。

＋符号の項は４χ＋１ を行った時のもので、Ｔの指数が一つ前の項より１減り３の指数が１増える。
その他の指数は同じ。

�E式を書き直すが、Ｔの項（４χ＋１を行った項）があると複雑なのでとりあえずはずして考える。

　ここで　ｌ＋ｍ＝Ｎ−１、Ｒは分子の定数項の和

�F式＝χ　でループとなるのでχについて整理すると

このχに１以外の整数解が無ければよい。

４−�A、ループするχの範囲

�G式のＮとχの関係には、Ｎに対してのχの最大値が決まります。
χ_{ｍａｘ（ｌ、ｍ、Ｎ）}　＜　 Ｊ_（Ｎ）　　・・・・・・・�H（仮定１）
なる　Ｊ_（Ｎ）がある。
またこのＪ_（Ｎ）は
Ｊ_（Ｎ）　＜ ２・３^Ｎ−１　　　・・・・・・・・・・・・・�I（仮定２）
なる関係がある。

０＜χ＜２・３^Ｎ−１ なるχにはループになる条件が無い。（仮定３）

（仮定１）（仮定２）
�G式の分母より４（＝Ｏ）の指数 ｌ に最大値があり、ＲはＮ−１個の２，３，４からなる積のＮ個の項で成り立っているので
Ｎによって決まる最大値 Ｊ_（Ｎ） がある。

また、それは　２・３^Ｎ−１ 　よりも小さいことを Ｎ＝５５０　までコンピュータにより調査し確かめた。
（定数項の和 Ｒ の一般項は複雑なので）
その範囲は
　ｌｏｇ（χ）／（（Ｎ−１）ｌｏｇ（３）＋ｌｏｇ（２）） ＜ ０．８　
となり、Ｎの大きなところでは　この値はほぼ０．１６内外であり、Ｎの増大によって更に小さくなる。

χ＜０では、�G式の分母より４（＝Ｏ）の指数 ｌ に最大値が無い（４χ＋１を何回でも行える）。
ただし、�G式の ｍ＝０ の場合はχ＝１となり、１→１、または５→１→１などのループが得られる。

Ｔの項（４χ＋１を行った項）をはずしていたが、この項は�G式のχを小さくするので、
χ_{ｍａｘ（ｌ、ｍ、Ｎ）}＜ Ｊ_（Ｎ）の範囲に影響はない。

（仮定３）
逆関数によって生成される数列
Ｆ^Ｎ（χ）、｛Ｎ＝０，１，２，・・・・｝はχにより一意に定まる。
この数列は非常にランダムであるが、ｍｏｄ６ で表した場合規則性が現れる。

χ＝３５までの数列（χ＝１６９までの表）

1	1	1	1	1	1	1	1	1
3	3	5	5	1	3	1	5	1
5	5	3	5	5	1	3	1	5
7	1	3	1	5	1	3	5	5
9	3	1	5	1	3	5	5	3
11	5	1	3	1	5	1	3	5
13	1	5	5	1	3	1	5	1
15	3	3	1	1	1	5	5	5
17	5	5	1	3	1	5	1	3
19	1	1	3	3	3	1	1	3
21	3	5	3	5	3	3	5	3
23	5	3	3	1	1	1	5	5
25	1	3	3	3	1	1	3	3
27	3	1	1	5	3	1	5	1
29	5	1	1	3	3	3	1	1
31	1	5	3	1	1	5	3	1
33	3	3	3	1	1	3	3	5
35	5	5	3	3	1	1	1	5

この表でχ＜１８（＝２・３^２）の範囲に１，３，５から２個選んだ順列が全てあります。
また、χ＜１８（＝２・３^Ｎ）の範囲には１，３，５からＮ個選んだ順列が全てあります。

逆関数がループになる場合は、このＮ個の順列が回転したＮ個の数字の組み合わせが必要です。
例
χ＝５の時、５，３，５の順列がループになるとすると、
３，５，５および５，５，３の順列が必要で、
少なくともχ＜５４＝（２・３^３）の範囲が必要です。

従って、任意のＦ_（χ）がＮ回でループになるためには
χ≧ ２・３^Ｎ でなければならない。
故に、０＜χ＜２・３^Ｎ−１ の範囲ではループができない。

（証明終わり）

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