『カタラン予想の変形』

カタラン予想と言う予想があります。

a，b，m，nを2以上の自然数とすると、
a^m-bⁿ=1を満たすa，b，m，nは、
a=3，b=2，m=2，n=3のみである

と言うものです。

いまだに未解決問題らしいのですが、bを素数に限定すると意外にもあっさりと解けてしまいます。

【問題１】

m，a，nを自然数とする。

aが、a≡1 (mod m)となるとき、
a^n-1+a^n-2+･･･+a+1≡n (mod m)となることを示せ。

【問題２】

mを奇数とする。
自然数aが、a≡1 (mod m)となるとき、

a^m-1+a^m-2+･･･+a+1≡m (mod m²)となることを示せ。

【問題３】

m，nを2以上の自然数、bを3以上の奇数とする。

2ⁿ=b^m+1を満たす m，n，bは存在しない事を示せ。

【問題４】

m，n，aを、2以上の自然数、pを素数とする。

a^m-pⁿ=1を満たすm，n，a，pは、
m=2，n=3，a=3，p=2のみである事を示せ。