石川県の高校生 takason さんからの問題です。
【問題１】
Sは（必ずしも自然数でない）整数からなる集合で、次の（a）、（b）を満たすと
する。
（a） GCD（a,b）=GCD（a-2,b-2）=１を満たすa,b∈Sが存在する。
（b） x,y∈S（x=yでもよい）ならば、x2-y∈Sである。
このとき、Sは整数全体の集合に一致することを証明せよ。
【問題２】
平面上のすべての点に実数が割り当てられていて、任意の三角形に対し、その内心に割り当てられた数は、３頂点に割り当てられた３つの実数の平均に等しい。
このとき、平面上のすべての点に割り当てられた実数はすべて等しいことを証明せよ。