◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
問題を言い換えると、 GCD（a,b）=GCD（a-2,b-2）＝１を満たす２整数a,bから
演算 x♀y＝x2-yにより全ての整数を生成可能であるということである。
以下すべて整数において考える。
（補題１）
GCD(α,β,γ)＝1であるとき、
∃(l,m,n)があって １を １＝lα+mβ+nγで表わすことが可能である。
∵互除法により最終的に１が残ることと補題１は等価である。詳細略
（補題２）
e、f、y∈Sのとき ｛ｘ｜ｘ≡y mod |e2−f2|｝⊂S
∵e♀（f♀y）＝ｙ＋（e2−f2） 、
f♀（e♀y）＝ｙ−（e2−f2）である。
従って数学的帰納法により
ｘ≡y mod |e2−f2| であるｘを全て作ることが可能である。
（本題）
p＝a♀b q＝b♀a とおく。
また、
α＝a2-b2
β＝p2-b2＝a2(a2-2b)
γ＝q2-a2 b2(b2-2a) とする。
このとき、補題２により
ｙ∈Sなら ∀(l,m,n)に対して ｙ+α*l+β*m+γ*ｎ∈Sである。
また、もし GCD(α,β,γ)＝1であれば補題１により y±1∈Sである。
少なくともa∈Sが存在しているから、数学的に帰納法によりS=整数全体である。
以下 GCD(α,β,γ)＝1を証明する。
まず、GCD(a±b,a)＝ GCD(±b,a)＝1であるから
GCD(α、β)＝GCD(α, (a2-2b))である。
なお α＝(a-b)(a+b)を利用した。
次に、
GCD(a-b, a2-2b)
＝GCD(a-b,a*(a-2))
＝GCD(a-b,a-2)
＝GCD(b-2,a-2)=1である。
従って、
GCD(α、β)
＝GCD(a+b, a2-2b)
＝GCD(a+b,a(a+2))
＝ GCD(a+b,a+2)
＝ GCD(a+b,b-2)である。
同様にGCD(α、γ)＝ GCD(a+b,a-2)である。
よって
GCD(α,β,γ)
＝GCD(a+b.a-2,b-2)
＝GCD(a+b,GCD(b-2,a-2))
＝1
【感想】
不思議なくらい過不足無く、巧妙に組み建てられてありますね。
【問題２】
ここでは問題にさらに、次の条件を加えて考える。
（１）平均が定義できることから、f(x)は任意の有界領域で有界である。
（２）f(x)は単写である。
任意の点A,Bを選びa=f(A),b=f(B)とする。
またA,Bを直径とする円周上に２点P0,Q0をとる。
ただし、P0,Q0は直径ABを挟んで対称点である。
なおp=f(P0),q=f(Q0)とする。
一般にi=0〜に対して、△PiABの内心をPi+1とする。
同様に、△ＱiABの内心をＱi+1とする。
また、△ＡPNＱNの内心をＣN、△ＢPNＱNの内心をＤNとする。
対称性からＣN、ＤNは直径ＡＢ上である。
| ｆの定義から f(Pi)= | a+b+f(Pi-1) 3 |
これより
| f(PN)= | a+b 2 | *(1-3-N)+p*3-N= | a+b 2 | +(p- | a+b 2 | )*3-N |
| 同様に f(ＱN)= | a+b 2 | +(q- | a+b 2 | )*3-N |
またｆの定義から
| f(CN)= | a+f(PN)+f(QN) 3 | = | 2a+b 3 | +((q+p)-(a+b))*3-N-1 |
同様に
| f(DN)= | b+f(PN)+f(QN) 3 | = | a+2b 3 | +((q+p)-(a+b))*3-N-1である。 |
従って p,q,a,bは有界値なのでN→∞において
| f(CN)→ | 2a+b 3 | ，f(DN)→ | a+2b 3 | である。 |
ところで、 P0の位置によりC∞点D∞点は直径AB上の全ての位置を取ることが可能である。
ｆは単写であるので
| f(C∞)＝f(D∞)= | 2a+b 3 | = | a+2b 3 | でなければならない。 |
下図は説明に使おうと作成したのですが、とりあえず挿絵です。
