『今週の問題』第92回　解答

【コメント】

清川さんから次の質問が来ているのですが、どうでしょうか。
解答をごらんになって分かった方は教えてください。
私は清川説にのりですが。。。

【清川さんからの質問】

問題１−４ は４８通りとの解答が優勢のようですが、

同型を許せば、全体で
２9＝５１２（通り）

　 ０回       １通り
   １回       ７通り
   ２回     ２４通り
   ３回     ９６通り
   ４回   ３８４通り
 ――――――――――――
  合計    ５１２通り
となると思うのですが？

◆東京都　じっさん さんからのコメント

私も清川説に賛成です。

◆福岡県　T.Ito さんからの解答を元に考えました。

abc
def
ghi

以下において、「収束」とは、全てのマスで×１になり、その後値が変化しないことを示すことにします。

（１）真ん中（ｅ）に関して
　e=1 の場合、変換０回で収束。・・・１通り
　e=-1 の場合、変換２回で収束。・・・１通り

（２）角（a,c,g,i）に関して

　全て  1 の場合、　　　　　変換０回で収束。・・・１通り
　全て -1 の場合、　　　　　変換１回で収束。・・・１通り
　対向する２つが -1 の場合、変換２回で収束。・・・２通り
　隣り合う２つが -1 の場合、変換３回で収束。・・・４通り
　１つ又は３つが -1 の場合、変換４回で収束。・・・８通り
　ここで、対向する２つというのは aとi, cとg のことを指します。
　また、隣り合う２つというのは、 aとc, cとi, iとg, gとa のことを指します。

（３）残り４ヶ所（b,d,f,h）に関して

　全て  1 の場合、　　　　　変換０回で収束。・・・１通り
　全て -1 の場合、　　　　　変換１回で収束。・・・１通り
　対向する２つが -1 の場合、変換２回で収束。・・・２通り
　隣り合う２つが -1 の場合、変換３回で収束。・・・４通り
　１つ又は３つが -1 の場合、変換４回で収束。・・・８通り
　ここで、対向する２つというのは bとh, dとf のことを指します。
　また、隣り合う２つというのは、 bとf, fとh, hとd, dとb のことを指します。

ちょうど３回で収束するのは、以下の３つの場合。

これを足したものが答えとなる。
真ん中が２回以内に収束・・・・・１＋１＝２通り。
角が２回以内に収束・・・・・・・１＋１＋２＝４通り。
角が３回で収束・・・・・・・・・４通り。
残り４ヶ所が２回以内に収束・・・１＋１＋２＝４通り。
残り４ヶ所が３回で収束・・・・・４通り。
なので、

２×４×４＋２×４×４＋２×４×４＝９６
　で９６通りとなります。

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１−１】

４回の操作ですべて１になる。
その後は変わらない。

【問題１−３】

最高４回の操作ですべて１になる。

【問題１−２，１−４】

(1)
-1-1-1　
-1-1-1　
1-11１が２個
(2)
-1-1-1　
-1-11　
-11-1１が２個

(3)
-1-1-1　
-11-1　
1-11１が３個
(4)
-1-1-1　
-111　
-11-1１が３個

(5)
-1-1-1　
-1-11　
111１が４個
(6)
-1-1-1　
1-11　
1-11１が４個
(7)
-1-11　
-1-11　
11-1１が４個
(8)
-1-11　
1-1-1　
-111１が４個
(9)
-1-11　
1-1-1　
11-1１が４個

(10)
-1-1-1　
-111　
111１が５個
(11)
-1-1-1　
111　
1-11１が５個
(12)
-1-11　
-111　
11-1１が５個
(13)
-1-11　
11-1　
-111１が５個
(14)
-1-11　
11-1　
11-1１が５個
(15)
-1-1 1　
11 1　
-1-1 1１が５個

(16)
-11-1　
1-11　
111１が６個
(17)
1-11　
-1-11　
111１が６個

(18)
1-11　
-111　
111１が７個
(19)
-11-1　
111　
111１が７個

プログラムを組んで出しました。
重複（同型）を許せば９６通りでした。

【おまけ】

もとの６桁の数の上３けたの数をＸ、下３桁の数をＹとする。
１００≦Ｘ≦９９９、０＜Ｙ≦９９９
　（Ｙ＝０はありえない。）

題意より
１０００Ｘ＋Ｙ＝(Ｘ＋Ｙ)2

Ｘについて整理する。

Ｘ2−(５１０００−２Ｙ)Ｘ＋Ｙ2−Ｙ＝０

Ｘについて解く。

　

２５００００−９９９Ｙ＝Ｍ2 でなければならない。

Ｙ＝(５００＋Ｍ)(５００−Ｍ)／(３*３*３*３７)

（１）Ｍ＝４９９ のとき Ｙ＝１
　Ｘ＝５００−１＋４９９＝９９８
　９９８００１

（２）Ｍ＝２０３のときＹ＝１９*１１＝２０９
　Ｘ＝５００−２０９＋２０３＝４９４
　４９４２０９

答え ４９４２０９ と ９９８００１

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答

【おまけ】

【答え】

９９８００１　と　４９４２０９

【解法】

問題を数式化すると

つぎの条件を満たす整数A,Bをみつける。

（１）1000A+B=(A+B)×(A+B)
（２）100≦A≦999
（３）0　≦B≦999

C=A+Bと置くことにより問題は下記と等価

（１）C×(C-1)-999A=0
（２）100≦A≦999
（３）A　≦C≦999+A

（１）を解の公式で解くと 100≦Cだから

　

（２）を代入して計算すると

316＜C＜1000　 　-------(4)

一方　（１）は

C×(C-1) = 27*37*A ------(5)

C とC-1が同時に３の倍数にはなりえないので、
C　または　C-1は、２７か３７の倍数でなければならない。

（ア）

C=27×37N の場合
（４）を満足するのは
C=27*37=999のみ
このとき　A=998　B=001

（イ）

C-1=27×37N の場合
Cは 1 , 1000 ... で（４）を満足しない。

（ウ）

C =37N C-1=27M の場合
C=703+999L で（４）を満足するのは
C=703 A=494 B=209

（エ）

C-1=37N C=27M の場合
C=297+999L で（４）を満足するのはない。
　(注：　L M N　は整数）

従って　998001 と　494209 である。

　

◆福岡県　T.Ito さんからの解答

【問題１−１,１−３】

答：全部１になる

各マス内の数字は絶対値１であるため、自乗すると必ず１になるということを利用します。

まず、aのマスを考えます。

１回目の操作でb、dの位置にきます。
２回目の操作では、a、c、e、gの４箇所に来るのですが、a、eに関しては自乗になるので相殺され、結局c、gの位置に来ます。
３回目の操作でb、d、f、hの位置に来ます。
４回目の操作では４すみは自乗、真中は４乗になり、すべて相殺されます。

次にbのマスを考えます。

１回目の操作でa、c、eの位置に来ます。
２回目の操作でb、d、f、hの位置に来るのですが、d、fは自乗なのでb、hの位置に来ます。
３回目の操作で、a、c、e、g、iの位置に来ますが、eは自乗なのでa、c、g、iの位置に来ます。
４回目の操作で、b、d、f、hの位置に来ますが、すべて自乗なので相殺されます。

次にeのマスを考えます。

１回目の操作でb、d、f、hの位置に来ます。
２回目の操作では４すみは自乗、真中は４乗になり、すべて相殺されます。

c、g、iのマスに関してはaと同様で、d、f、hのマスに関してはbと同様なので、各マスにどのような値があっても、少なくとも４回の操作の後にはすべてが１になります。

◆千葉県　緑川　正雄 さんからの解答

【問題１−１の回答】

最初の並びが

-11-1
-1-11
-11-1

である場合には、4回目以降に

111
111
111

となる。

【問題１−2の回答】

最初の並びが

-1-11
-1-1-1
-1-11

である場合には、3回目以降に

111
111
111

となる。

【問題１−３の回答】

問題1-1と同じように、4回目以降に

111
111
111

となる。

【問題１−４の答え】

48通り

一般に、並び

abc
def
ghi

の次の並びを

ABC
DEF
GHI

とする。

この変換を
(A,B,C,D,E,F,G,H,I)=φ(a,b,c,d,e,f,g,h,i)
で表現する。

A=b×d
B=a×c×e
C=b×f
D=a×e×g
E=b×d×f×h
F=c×e×i
G=d×h
H=e×g×i
I=f×h
が成立する。

この関係では、a,c,e,g,iによりB,D,F,Hが定まり、b,d,f,hによりA,C,E,G,Iが定まる。

以上の関係を基に、並び

ABC
DEF
GHI

から、直前の並び

abc
def
ghi

を求めるためのアルゴリズムを確定する。

[step1]

A,C,E,G,Iから b,d,f,hを求める。

A=b×d …(1)
C=b×f …(2)
E=b×d×f×h …(3)
G=d×h …(4)
I=f×h …(5)

より、
A:C=G:I(=d:f)
A:G=C:I(=b:h)
E=A×I=C×G
が成立する。

即ち、

d:f(=A:C=G:I)よりdとfを求める。
（2通りの方法がある。）

次に
b(=A/d =C/f)とh(=G/d=I/f)を求める。

《step1注》

求める解のうち、
b×h≠d×fとなる解は、どのような並びからも

並び

abc
def
ghi

を作る事が出来ない。

[step2]

B,D,F,Hからa,c,e,g,iを求める。

B=a×c×e …(1)
D=a× e×g …(2)
F= c×e ×i …(3)
H= e×g×i …(4)

より、
B:D=F:H(=c:g)
B:F=D:H(=a:i)
が成立する。

即ち、

c:g(=F:H=B:D)よりcとgを求める。
（2通りの方法がある。）

次に
a×e(=B/c=D/g)を求める。

次に
e×i(=F/c=H/g)を求める。

e=1,-1のどちらからも答えが求まる。

《step2注》

求める解のうち、
e=a×i=g×c
を満足しない解は、どのような並びからも

並び

abc
def
ghi

を作る事が出来ない。

《注》

以上で求めた解の中で
a=b=c=d=e=f=g=h=i=1を満足する解を除いて以下の問題を考察する。

【問題１−４の回答】

３回目以降に

111
111
111

となる元の並びについて考察する。

《さかのぼり手順１》
並び

111
111
111

の一回手前の並び

abc
def
ghi

を求めるためのアルゴリズム。

[step1]

A=C=E=G=I=1から b,d,f,hを決定する。

1=b×d …(1)
1=b×f …(2)
1=b×d×f×h …(3)
1=d×h …(4)
1=f×h …(5)

より、A:C=G:I(=d:f)→d:f=1:1
が成立する。

即ち、
d:f=1:1より(d,f)=(1,1)(-1,-1)

(d,f)=(1,1)の時
b(=A/d =C/f)=1、h(=G/d=I/f)=1

(d,f)=(-1,-1)の時
b(=A/d =C/f)=-1、h(=G/d=I/f)=-1

以上より
(b,d,f,h)=(1,1,1,1)または(-1,-1,-1,-1)

《step1注》

b×h=d×fは常に成立する。

[step2]

B=D=F=H=1からa,c,e,g,iを決定する。

1=a×c×e …(1)
1=a× e×g …(2)
1= c×e ×i …(3)
1= e×g×i …(4)

c:g(=F:H=B:D)=1:1より
(c、g)=(1,1)または(-1,-1)

(c、g)=(1,1)の時
a×e(=B/c=D/g)=1
e×i(=F/c=H/g)=1

(c、g)=(-1,-1)の時
a×e(=B/c=D/g)=-1
e×i(=F/c=H/g)=-1

e=1,-1のどちらからも答えが求まるので、以上より

(a,c,e,g,i)
=( 1, 1, 1, 1, 1)
=(-1, 1,-1, 1,-1)
=(-1,-1, 1,-1,-1)
=( 1,-1,-1,-1, 1)

《step2注》

求める解のうち、
e=a×i=g×cを満足しない解
(a,c,e,g,i)=(-1, 1,-1, 1,-1)( 1,-1,-1,-1, 1)
はどのような並びからも、並び

abc
def
ghi

を作り出す事は出来ない。

《さかのぼり手順１まとめ》

(b,d,f,h)=(1,1,1,1)(-1,-1,-1,-1)

(a,c,e,g,i)
=( 1, 1, 1, 1, 1)(-1, 1,-1, 1,-1)(-1,-1, 1,-1,-1) ( 1,-1,-1,-1, 1)

の中で、

(Case1)

(b,d,f,h)=(1,1,1,1)かつ(a,c,e,g,i)=( 1, 1, 1, 1, 1)
は、(a,b,c,d,e,f,g,h,i)=φ(a,b,c,d,e,f,g,h,i)
を満足する。
この回答は考察の対象から除外する。

(Case2)
(b,d,f,h)にかかわらず
(a,c,e,g,i)=(-1, 1,-1, 1,-1)( 1,-1,-1,-1, 1)
となる解(2×2=4 通り)はそれ以上さかのぼる事が出来ない解である。

(Case3)

上記2つのCaseを除く2×4-5=3(通りの)解から手順を2回さかのぼって求める解を求める。

《さかのぼり手順２》

《さかのぼり手順１》で求めた3通りの解の一つ
a,b,c,d,e,f,g,h,iを改めてA,B,C,D,E,F,G,H,Iと置く。

更に(A,B,C,D,E,F,G,H,I)=φ(a,b,c,d,e,f,g,h,i)
を満足する(a,b,c,d,e,f,g,h,i)を求める。

《さかのぼり手順１》と同様に
これを満たす(a,b,c,d,e,f,g,h,i)は8通り存在する。

その中でe=a×i=g×cを満足しない解は
2×2=4(通り)存在する。

e=a×i=g×cを満足する解は
8-4=4(通り)存在する。

後者を求める解として採用する。

《さかのぼり手順３》

《さかのぼり手順２》で求めた3×4=12通りの解の一つ
a,b,c,d,e,f,g,h,.iを改めてA,B,C,D,E,F,G,H,Iと置く。

更に(A,B,C,D,E,F,G,H,I)=φ(a,b,c,d,e,f,g,h,i)
を満足する(a,b,c,d,e,f,g,h,i)を求める。

《さかのぼり手順１》と同様に
これを満たす(a,b,c,d,e,f,g,h,i)は8通り存在する。

その中でe=a×i=g×cを満足しない解は
2×2=4(通り)存在する。

e=a×i=g×cを満足する解は
8-4=4(通り)存在する。

前者を求める解として採用する。

【問題１−４の回答】

3回目に始めて、並びが

111
111
111

となるような並びは、
《さかのぼり手順１〜３》により、
3×4×4=48(通り)存在する。

【問題２の回答】

494209及び998001

【問題２の回答】

a(1),a(2),a(3),a(4),a(5),a(6)を
1≦a(1)≦9、
0≦a(2),a(3),a(4),a(5),a(6)≦9を満たす0又は自然数
かつ
M=a(1)×100000+a(2)×10000+a(3)×1000+a(4)×100+a(5)×10+a(6)
N={a(1)+a(4)}×100+{a(2)+a(5)}×10+{a(3)+a(6)}　
とする。

Mは6桁の自然数であるから
317≦N≦999

回答(q2.xls)では

(第1列)317〜999までの数
(第2列)第1列の数の二乗
(第3列)第2列の数を
a(1)×100000+a(2)×10000+a(3)×1000+a(4)×100+a(5)×10+a(6)
と置いた時の
{a(1)+a(4)}×100+{a(2)+a(5)}×10+{a(3)+a(6)}　の値
(第4列)第1列の数-第2列の数

を求め(第4列)が0のものを答えとして採用した。

◆鹿児島　ともひろ さんからの解答

マス目を以下のようにして、数字の初期値をそれぞれ、
「a(0)」〜「i(0)」とする。

また、１回目のボタン操作でのマス目内の数字を
「a(1)」〜「i(1)」とする。

a(0)b(0)c(0)
d(0)e(0)f(0)
g(0)h(0)i(0)

【問題１−１】

【解】 すべて「１」となる

111
111
111

【問題１−２】

【解】

b(0) = -1 , d(0) = -1の場合。

1-11
-111
111

【問題１−３】

【解】

すべて「１」となる、と言える。
最大4回

【証明】

a(0)b(0)c(0)
d(0)e(0)f(0)
g(0)h(0)i(0)

ここで、
「a(0)」（四隅）「b(0)」（外辺）「e(0)」（中心）を考える。

1.「a(0)」について、

a(1) = b(0) * d(0)
a(2) = b(1) * d(1)
　= (a(0) * c(0) * e(0)) * (a(0) * e(0) * g(0))
　=a(0)2 * c(0) * e(0)2 * g(0)

ここでa(0) = ±1　のとき、a(0)2 = １になるから

a(2) = c(0) * g(0)

「c(0)」「g(0)」も四隅であるから、同様に計算すると

c(2) = a(0) * i(0)
g(2) = a(0) * i(0)

a((2)+2) = c(2) * g(2)

a(4) = (a(0) * i(0)) * (a(0) * i(0))
　= (a(0)2) * (i(0)2)
　= 1

よって４回で「１」となる。
これは「c(0)」「g(0)」「i(0)」についても言える。‥‥(1)

2.‥‥「b(0)」について

b(1) = a(0) * c(0) * e(0)

b(2) = a(1) * c(1) * e(1)
　= (b(0) * d(0)) * (b(0) * f(0)) * (b(0) * d(0) * f(0) * h(0))
　= b(0) * (b(0)2) * (d(0)2) * (f(0)2) *h(0))
　= b(0) * h(0)
「h(0)」も外辺であるから、同様に計算すると、

h(2) = h(0) * b(0) = b(0) * h(0)

b(2+2) = b(2) * h(2)

b(4) = (b(0) * h(0)) * (b(0) * h(0))
　= (b(0)2) * (h(0)2)
　= 1

よって４回で「１」となる。
これは「d(0)」「f(0)」「h(0)」についても言える。‥‥(2)

3.‥‥「e(0)」について

e(1) = b(0) * d(0) * f(0) * h(0)

e(2) = b(1) * d(1) * f(1) * h(1)
　= (a(0) * c(0) * e(0)) * (a(0) * e(0) * g(0)) * (c(0) * e(0) *i(0)) * (e(0) * g(0) * i(0))
　= (a(0)2) * (c(0)2) * (e(0)4) * (g(0)2) * (i(0)2)
　= 1
よって２回で「１」となる。 ‥‥(3)

(1),(2),(3)より、最大４回ですべてが「１」となる。

　（証明終わり）

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答

その操作2回繰り返すと

g*cb*ha*i
d*f1d*f
a*ib*hg*c

3回繰り返すと

d*f*b*hg*c*a*id*f*b*h
g*c*a*i1g*c*a*i
d*f*b*hg*c*a*id*f*b*h

4回繰り返すと

111
111
111

【問題１−１】

111
111
111

になります。

【問題１−２】

1-11
-111
-11-1

【問題１−３】

言えます。 最大４回。

【問題１−４】

3回でそれ以上変化しなくなる条件は
b*hとd*fが-1 あるいは　g*cとa*iが-1です。

そういうようなマス目は
　(2*2-1)*2*2*2*2=48 通りです。

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