◆神奈川県の中学校３年生 おまぁ〜 さんからの解答
前提として,左上(1,1)の1から右下(9,9)の9まで行くには,必ず縦に全ての数字を通ることになります.
さらに,いくつかの地点で右にいくつかいき,最終的に右下に行くのですから,和を考える場合は,下にいく過程の1〜9は除外して,どこでどれだけ右にいき,
100-(1+・・9)=55を作るか考えればよいわけです.
合計で9-1=8回右に行くことになります.
問題１は省略します.
【問題２】
これは,即ち右に行く過程を経る数字をできるだけ減らせばよいわけですから,
数字の大きい9から55を作ればよいわけです.
9*6で54ですが,差があと1しかないのでダメ,
9*5で45.
つぎに9*5+8*1=53.
あとは1*2をたして55.
これで,3種類の数字(1,8,9)を,右に8回行って55を作れたわけです.
すなわち,
(1,1)→
(1,3)→(8,3)→(8,4)→(9,4)→(9,9)です.
【問題３】
問2同様の考えで,8回,なるべく多くの数字を経ればよいわけです.
とりあえず,右に行く数字を2,3,4,5,6,7,8,9とします.
この合計は44で,11足りませんから,2を9にして9,3,4,5,6,7,8,9とします.
合計は51で,4足りませんから,ここで9,7,4,5,6,7,8,9とする方法と9,3,8,5,6,7,8,9とする方法の2通りで和は55となります.
つまり,
(1,1)→ (4,1)→(4,2)→(5,2)→(5,3)→(6,3)→ (6,4)→(7,4)→(7,6)→(8,6)→(8,7)→ (9,7)→(9,9)と
(1,1)→ (3,1)→(3,2)→(5,2)→(5,3)→(6,3)→ (6,4)→(7,4)→(7,5)→(8,5)→(8,7)→ (9,7)→(9,9)が解答です.
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題２】
方向転換の回数 ５回
(1,1)→ (1,2)→(1,3)→(2,3)→(3,3)→(4,3)→ (5,3)→(6,3)→(7,3)→(8,3)→(8,4)→ (9,4)→(9,5)→(9,6)→(9,7)→(9,8)→ (9,9)→ N0. 1 右右下下下下下下下右下右右右右右 5 回 最小 N0. 2 右下右下下下下下右下下右右右右右 7 回 N0. 3 右下右下下下下下下右右下右右右右 7 回 N0. 4 右下下右下下下右下下下右右右右右 7 回 N0. 5 右下下右下下下下右下右下右右右右 9 回 N0. 6 右下下右下下下下下右右右下右右右 7 回 N0. 7 右下下下右下右下下下下右右右右右 7 回 N0. 8 右下下下右下下右下下右下右右右右 9 回 N0. 9 右下下下右下下下右右下下右右右右 7 回 N0. 10 右下下下右下下下右下右右下右右右 9 回 N0. 11 右下下下右下下下下右右右右下右右 7 回 N0. 12 右下下下下右右下下下右下右右右右 7 回 N0. 13 右下下下下右下右下右下下右右右右 9 回 N0. 14 右下下下下右下右下下右右下右右右 9 回 N0. 15 右下下下下右下下右右下右下右右右 9 回 N0. 16 右下下下下右下下右下右右右下右右 9 回 N0. 17 右下下下下右下下下右右右右右下右 7 回 N0. 18 右下下下下下右右右下下下右右右右 5 回 最小 N0. 19 右下下下下下右右下右下右下右右右 9 回 N0. 20 右下下下下下右右下下右右右下右右 7 回 N0. 21 右下下下下下右下右右右下下右右右 7 回 N0. 22 右下下下下下右下右右下右右下右右 9 回 N0. 23 右下下下下下右下右下右右右右下右 9 回 N0. 24 右下下下下下右下下右右右右右右下 6 回 N0. 25 右下下下下下下右右右右下右下右右 7 回 N0. 26 右下下下下下下右右右下右右右下右 7 回 N0. 27 右下下下下下下右右下右右右右右下 6 回 N0. 28 下右右下下下下右下下下右右右右右 6 回 N0. 29 下右右下下下下下右下右下右右右右 8 回 N0. 30 下右右下下下下下下右右右下右右右 6 回 N0. 31 下右下右下下右下下下下右右右右右 8 回 N0. 32 下右下右下下下右下下右下右右右右 10 回 N0. 33 下右下右下下下下右右下下右右右右 8 回 N0. 34 下右下右下下下下右下右右下右右右 10 回 N0. 35 下右下右下下下下下右右右右下右右 8 回 N0. 36 下右下下右右下下下下下右右右右右 6 回 N0. 37 下右下下右下右下下下右下右右右右 10 回 N0. 38 下右下下右下下右下右下下右右右右 10 回 N0. 39 下右下下右下下右下下右右下右右右 10 回 N0. 40 下右下下右下下下右右下右下右右右 10 回 N0. 41 下右下下右下下下右下右右右下右右 10 回 N0. 42 下右下下右下下下下右右右右右下右 8 回 N0. 43 下右下下下右右下下右下下右右右右 8 回 N0. 44 下右下下下右右下下下右右下右右右 8 回 N0. 45 下右下下下右下右右下下下右右右右 8 回 N0. 46 下右下下下右下右下右下右下右右右 12 回 最大 N0. 47 下右下下下右下右下下右右右下右右 10 回 N0. 48 下右下下下右下下右右右下下右右右 8 回 N0. 49 下右下下下右下下右右下右右下右右 10 回 N0. 50 下右下下下右下下右下右右右右下右 10 回 N0. 51 下右下下下右下下下右右右右右右下 7 回 N0. 52 下右下下下下右右右下下右下右右右 8 回 N0. 53 下右下下下下右右下右右下下右右右 8 回 N0. 54 下右下下下下右右下右下右右下右右 10 回 N0. 55 下右下下下下右右下下右右右右下右 8 回 N0. 56 下右下下下下右下右右右下右下右右 10 回 N0. 57 下右下下下下右下右右下右右右下右 10 回 N0. 58 下右下下下下右下右下右右右右右下 9 回 N0. 59 下右下下下下下右右右右右下下右右 6 回 N0. 60 下右下下下下下右右右右下右右下右 8 回 N0. 61 下右下下下下下右右右下右右右右下 7 回 N0. 62 下下右右下右下下下下下右右右右右 6 回 N0. 63 下下右右下下右下下下右下右右右右 8 回 N0. 64 下下右右下下下右下右下下右右右右 8 回 N0. 65 下下右右下下下右下下右右下右右右 8 回 N0. 66 下下右右下下下下右右下右下右右右 8 回 N0. 67 下下右右下下下下右下右右右下右右 8 回 N0. 68 下下右右下下下下下右右右右右下右 6 回 N0. 69 下下右下右右下下下下右下右右右右 8 回 N0. 70 下下右下右下右下下右下下右右右右 10 回 N0. 71 下下右下右下右下下下右右下右右右 10 回 N0. 72 下下右下右下下右右下下下右右右右 8 回 N0. 73 下下右下右下下右下右下右下右右右 12 回 最大 N0. 74 下下右下右下下右下下右右右下右右 10 回 N0. 75 下下右下右下下下右右右下下右右右 8 回 N0. 76 下下右下右下下下右右下右右下右右 10 回 N0. 77 下下右下右下下下右下右右右右下右 10 回 N0. 78 下下右下右下下下下右右右右右右下 7 回 N0. 79 下下右下下右右下右下下下右右右右 8 回 N0. 80 下下右下下右右下下右下右下右右右 10 回 N0. 81 下下右下下右右下下下右右右下右右 8 回 N0. 82 下下右下下右下右右下下右下右右右 10 回 N0. 83 下下右下下右下右下右右下下右右右 10 回 N0. 84 下下右下下右下右下右下右右下右右 12 回 最大 N0. 85 下下右下下右下右下下右右右右下右 10 回 N0. 86 下下右下下右下下右右右下右下右右 10 回 N0. 87 下下右下下右下下右右下右右右下右 10 回 N0. 88 下下右下下右下下右下右右右右右下 9 回 N0. 89 下下右下下下右右右下右下下右右右 8 回 N0. 90 下下右下下下右右右下下右右下右右 8 回 N0. 91 下下右下下下右右下右右下右下右右 10 回 N0. 92 下下右下下下右右下右下右右右下右 10 回 N0. 93 下下右下下下右右下下右右右右右下 7 回 N0. 94 下下右下下下右下右右右右下下右右 8 回 N0. 95 下下右下下下右下右右右下右右下右 10 回 N0. 96 下下右下下下右下右右下右右右右下 9 回 N0. 97 下下右下下下下右右右右右下右下右 8 回 N0. 98 下下右下下下下右右右右下右右右下 7 回 N0. 99 下下下右右右下下下右下下右右右右 6 回 N0.100 下下下右右右下下下下右右下右右右 6 回 N0.101 下下下右右下右下右下下下右右右右 8 回 N0.102 下下下右右下右下下右下右下右右右 10 回 N0.103 下下下右右下右下下下右右右下右右 8 回 N0.104 下下下右右下下右右下下右下右右右 8 回 N0.105 下下下右右下下右下右右下下右右右 8 回 N0.106 下下下右右下下右下右下右右下右右 10 回 N0.107 下下下右右下下右下下右右右右下右 8 回 N0.108 下下下右右下下下右右右下右下右右 8 回 N0.109 下下下右右下下下右右下右右右下右 8 回 N0.110 下下下右右下下下右下右右右右右下 7 回 N0.111 下下下右下右右右下下下下右右右右 6 回 N0.112 下下下右下右右下右下下右下右右右 10 回 N0.113 下下下右下右右下下右右下下右右右 8 回 N0.114 下下下右下右右下下右下右右下右右 10 回 N0.115 下下下右下右右下下下右右右右下右 8 回 N0.116 下下下右下右下右右下右下下右右右 10 回 N0.117 下下下右下右下右右下下右右下右右 10 回 N0.118 下下下右下右下右下右右下右下右右 12 回 最大 N0.119 下下下右下右下右下右下右右右下右 12 回 最大 N0.120 下下下右下右下右下下右右右右右下 9 回 N0.121 下下下右下右下下右右右右下下右右 8 回 N0.122 下下下右下右下下右右右下右右下右 10 回 N0.123 下下下右下右下下右右下右右右右下 9 回 N0.124 下下下右下下右右右右下下下右右右 6 回 N0.125 下下下右下下右右右下右下右下右右 10 回 N0.126 下下下右下下右右右下下右右右下右 8 回 N0.127 下下下右下下右右下右右右下下右右 8 回 N0.128 下下下右下下右右下右右下右右下右 10 回 N0.129 下下下右下下右右下右下右右右右下 9 回 N0.130 下下下右下下右下右右右右下右下右 10 回 N0.131 下下下右下下右下右右右下右右右下 9 回 N0.132 下下下右下下下右右右右右右下下右 6 回 N0.133 下下下右下下下右右右右右下右右下 7 回 N0.134 下下下下右右右右下下下右下右右右 6 回 N0.135 下下下下右右右下右下右下下右右右 8 回 N0.136 下下下下右右右下右下下右右下右右 8 回 N0.137 下下下下右右右下下右右下右下右右 8 回 N0.138 下下下下右右右下下右下右右右下右 8 回 N0.139 下下下下右右右下下下右右右右右下 5 回 最小 N0.140 下下下下右右下右右右下下下右右右 6 回 N0.141 下下下下右右下右右下右下右下右右 10 回 N0.142 下下下下右右下右右下下右右右下右 8 回 N0.143 下下下下右右下右下右右右下下右右 8 回 N0.144 下下下下右右下右下右右下右右下右 10 回 N0.145 下下下下右右下右下右下右右右右下 9 回 N0.146 下下下下右右下下右右右右下右下右 8 回 N0.147 下下下下右右下下右右右下右右右下 7 回 N0.148 下下下下右下右右右右下下右下右右 8 回 N0.149 下下下下右下右右右下右右下下右右 8 回 N0.150 下下下下右下右右右下右下右右下右 10 回 N0.151 下下下下右下右右右下下右右右右下 7 回 N0.152 下下下下右下右右下右右右下右下右 10 回 N0.153 下下下下右下右右下右右下右右右下 9 回 N0.154 下下下下右下右下右右右右右下下右 8 回 N0.155 下下下下右下右下右右右右下右右下 9 回 N0.156 下下下下右下下右右右右右右下右下 7 回 N0.157 下下下下下右右右右右下右下下右右 6 回 N0.158 下下下下下右右右右右下下右右下右 6 回 N0.159 下下下下下右右右右下右右下右下右 8 回 N0.160 下下下下下右右右右下右下右右右下 7 回 N0.161 下下下下下右右右下右右右右下下右 6 回 N0.162 下下下下下右右右下右右右下右右下 7 回 N0.163 下下下下下右右下右右右右右下右下 7 回 N0.164 下下下下下右下右右右右右右右下下 5 回 最小
◆福井県 Foolis さんからの解答(PDFファイル)
◆東京都 明 さんからの解答
【問題１】
方向転換の回数 5回
手順 (1,1)→ (1,3)→(8,3)→(8,4)→(9,4)→(9,9)→【問題２】
方向転換の回数 5回
手順 (1,1)→ ●(6,1)→(6,2)→(7,2)→(7,9)→(9,9)→ ●(5,1)→(5,4)→(8,4)→(8,9)→(9,9)→ ●(1,2)→(6,2)→(6,5)→(9,5)→(9,9)→ ●(1,3)→(8,3)→(8,4)→(9,4)→(9,9)→【問題３】
方向転換の回数 12回 手順 (1,1)→ ●(4,1)→(4,2)→(5,2)→(5,3)→(6,3)→ (6,4)→(7,4)→(7,5)→(8,5)→(8,8)→ (9,8)→(9,9)→ ●(4,1)→(4,2)→(5,2)→(5,3)→(6,3)→ (6,4)→(7,4)→(7,6)→(8,6)→(8,7)→ (9,7)→(9,9)→ ●(3,1)→(3,2)→(5,2)→(5,3)→(6,3)→ (6,4)→(7,4)→(7,5)→(8,5)→(8,7)→ (9,7)→(9,9)→ ●(3,1)→(3,2)→(4,2)→(4,3)→(6,3)→ (6,4)→(7,4)→(7,5)→(8,5)→(8,6)→ (9,6)→(9,9)→ ●(2,1)→(2,2)→(5,2)→(5,3)→(6,3)→ (6,4)→(7,4)→(7,5)→(8,5)→(8,6)→ (9,6)→(9,9)→【おまけ】
(1,1)から(9,9)まで右または下の方向へのみ移動するとすると、必ず下方向へ1〜9を必ず１回づつ通過することになります。
また、右方向へ８マス移動することになるので、ｎのカードの列で右方向へN(n)マス移動するとすれば、題意を満たすためには、以下の(1),(2)式が満たされることが必要、十分です。
1+2+・・・+9+N(1)+2N(2)+・・・+9N(9)=100 ・・・(1) N(1)+N(2)+・・・+N(9)=8 ・・・(2) ただし、 0≦N(n)≦8(1)式は
N(1)+2N(2)+・・・+9N(9)=55 ・・・（3)
となります。
また、方向転換の数は、N(n)が0でない行数に着目して、2〜8の行数は2倍し、1と9の行数は1倍して加え、最後に終点の+1をすれば求まります。
式の形で表現するために、関数F(m)を定義し
F(0)=0 , Ｆ(m)=1 (m＞0) とすれば、以下のとおりです。
方向転換の数=F(N(1))+2{F(N(2)+・・・＋F(N(8))}+F(N(9))+1
方向転換の数が最小の場合は手計算で求まりましたが、最大の場合は数え落としをしていました。
すべてのN(1)〜N(9)の組を計算機の力を借りて求めると164通りありました。
0 0 0 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 0 2 5 1 0 0 0 0 0 1 0 6 1 0 0 0 0 0 0 3 3 2 0 0 0 0 0 1 1 4 2 0 0 0 0 1 0 0 5 2 0 0 0 0 0 0 4 1 3 0 0 0 0 0 1 2 2 3 0 0 0 0 0 2 0 3 3 0 0 0 0 1 0 1 3 3 0 0 0 1 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0 1 3 0 4 0 0 0 0 0 2 1 1 4 0 0 0 0 1 0 2 1 4 0 0 0 0 1 1 0 2 4 0 0 0 1 0 0 1 2 4 0 0 1 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 0 3 0 0 5 0 0 0 0 1 1 1 0 5 0 0 0 1 0 0 2 0 5 0 0 0 0 2 0 0 1 5 0 0 0 1 0 1 0 1 5 0 0 1 0 0 0 1 1 5 0 1 0 0 0 0 0 2 5 0 0 0 1 1 0 0 0 6 0 0 1 0 0 1 0 0 6 0 1 0 0 0 0 1 0 6 0 0 0 0 0 0 3 4 0 1 0 0 0 0 1 1 5 0 1 0 0 0 1 0 0 6 0 1 0 0 0 0 0 4 2 1 1 0 0 0 0 1 2 3 1 1 0 0 0 0 2 0 4 1 1 0 0 0 1 0 1 4 1 1 0 0 1 0 0 0 5 1 1 0 0 0 0 0 5 0 2 1 0 0 0 0 1 3 1 2 1 0 0 0 0 2 1 2 2 1 0 0 0 1 0 2 2 2 1 0 0 0 1 1 0 3 2 1 0 0 1 0 0 1 3 2 1 0 1 0 0 0 0 4 2 1 0 0 0 0 2 2 0 3 1 0 0 0 1 0 3 0 3 1 0 0 0 0 3 0 1 3 1 0 0 0 1 1 1 1 3 1 0 0 1 0 0 2 1 3 1 0 0 0 2 0 0 2 3 1 0 0 1 0 1 0 2 3 1 0 1 0 0 0 1 2 3 1 1 0 0 0 0 0 3 3 1 0 0 0 1 2 0 0 4 1 0 0 0 2 0 1 0 4 1 0 0 1 0 1 1 0 4 1 0 1 0 0 0 2 0 4 1 0 0 1 1 0 0 1 4 1 0 1 0 0 1 0 1 4 1 1 0 0 0 0 1 1 4 1 0 0 2 0 0 0 0 5 1 0 1 0 1 0 0 0 5 1 1 0 0 0 1 0 0 5 1 0 0 0 0 0 5 1 0 2 0 0 0 0 1 3 2 0 2 0 0 0 0 2 1 3 0 2 0 0 0 1 0 2 3 0 2 0 0 0 1 1 0 4 0 2 0 0 1 0 0 1 4 0 2 0 1 0 0 0 0 5 0 2 0 0 0 0 1 4 0 1 2 0 0 0 0 2 2 1 1 2 0 0 0 1 0 3 1 1 2 0 0 0 0 3 0 2 1 2 0 0 0 1 1 1 2 1 2 0 0 1 0 0 2 2 1 2 0 0 0 2 0 0 3 1 2 0 0 1 0 1 0 3 1 2 0 1 0 0 0 1 3 1 2 1 0 0 0 0 0 4 1 2 0 0 0 0 3 1 0 2 2 0 0 0 1 1 2 0 2 2 0 0 1 0 0 3 0 2 2 0 0 0 1 2 0 1 2 2 0 0 0 2 0 1 1 2 2 0 0 1 0 1 1 1 2 2 0 1 0 0 0 2 1 2 2 0 0 1 1 0 0 2 2 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 1 0 0 0 0 1 2 2 2 0 0 0 2 1 0 0 3 2 0 0 1 0 2 0 0 3 2 0 0 1 1 0 1 0 3 2 0 1 0 0 1 1 0 3 2 1 0 0 0 0 2 0 3 2 0 0 2 0 0 0 1 3 2 0 1 0 1 0 0 1 3 2 1 0 0 0 1 0 1 3 2 0 1 1 0 0 0 0 4 2 1 0 0 1 0 0 0 4 2 0 0 0 0 2 3 0 0 3 0 0 0 1 0 4 0 0 3 0 0 0 0 3 1 1 0 3 0 0 0 1 1 2 1 0 3 0 0 1 0 0 3 1 0 3 0 0 0 1 2 0 2 0 3 0 0 0 2 0 1 2 0 3 0 0 1 0 1 1 2 0 3 0 1 0 0 0 2 2 0 3 0 0 1 1 0 0 3 0 3 0 1 0 0 1 0 3 0 3 1 0 0 0 0 1 3 0 3 0 0 0 0 4 0 0 1 3 0 0 0 1 2 1 0 1 3 0 0 0 2 0 2 0 1 3 0 0 1 0 1 2 0 1 3 0 1 0 0 0 3 0 1 3 0 0 0 2 1 0 1 1 3 0 0 1 0 2 0 1 1 3 0 0 1 1 0 1 1 1 3 0 1 0 0 1 1 1 1 3 1 0 0 0 0 2 1 1 3 0 0 2 0 0 0 2 1 3 0 1 0 1 0 0 2 1 3 1 0 0 0 1 0 2 1 3 0 0 0 3 0 0 0 2 3 0 0 1 1 1 0 0 2 3 0 1 0 0 2 0 0 2 3 0 0 2 0 0 1 0 2 3 0 1 0 1 0 1 0 2 3 1 0 0 0 1 1 0 2 3 0 1 1 0 0 0 1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 2 3 0 2 0 0 0 0 0 3 3 1 0 1 0 0 0 0 3 3 0 0 0 1 3 0 0 0 4 0 0 0 2 1 1 0 0 4 0 0 1 0 2 1 0 0 4 0 0 1 1 0 2 0 0 4 0 1 0 0 1 2 0 0 4 1 0 0 0 0 3 0 0 4 0 0 0 3 0 0 1 0 4 0 0 1 1 1 0 1 0 4 0 1 0 0 2 0 1 0 4 0 0 2 0 0 1 1 0 4 0 1 0 1 0 1 1 0 4 1 0 0 0 1 1 1 0 4 0 1 1 0 0 0 2 0 4 1 0 0 1 0 0 2 0 4 0 0 1 2 0 0 0 1 4 0 0 2 0 1 0 0 1 4 0 1 0 1 1 0 0 1 4 1 0 0 0 2 0 0 1 4 0 1 1 0 0 1 0 1 4 1 0 0 1 0 1 0 1 4 0 2 0 0 0 0 1 1 4 1 0 1 0 0 0 1 1 4 1 1 0 0 0 0 0 2 4 0 0 2 1 0 0 0 0 5 0 1 0 2 0 0 0 0 5 0 1 1 0 1 0 0 0 5 1 0 0 1 1 0 0 0 5 0 2 0 0 0 1 0 0 5 1 0 1 0 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 0 1 0 5 2 0 0 0 0 0 0 1 5 TOTAL= 164
◆埼玉県 angel さんからの解答
【問題１】 略
【問題２】
(1,1)→(1,2)→(1,3)→(2,3)→(3,3)→
(4,3)→(5,3)→(6,3)→(7,3)→(8,3)→
(8,4)→(9,4)→(9,5)→(9,6)→(9,7)→
(9,8)→(9,9)
折れ曲がり回数は4回
( 最初の右移動は折れ曲がりに入れていません )
【問題３】
(1,1)→(2,1)→(2,2)→(3,2)→(4,2)→
(5,2)→(5,3)→(6,3)→(6,4)→(7,4)→
(7,5)→(8,5)→(8,6)→(9,6)→(9,7)→
(9,8)→(9,9)
(1,1)→(2,1)→(3,1)→(3,2)→(4,2)→
(4,3)→(5,3)→(6,3)→(6,4)→(7,4)→
(7,5)→(8,5)→(8,6)→(9,6)→(9,7)→
(9,8)→(9,9)
共に折れ曲がり回数は11回です。
( 最初の下移動は折れ曲がりに入れていません )
【おまけ】
(1,1)→(2,1)→(3,1)→(4,1)→(5,1)→(6,1)→(7,1)→(8,1)→(9,1)→(9,2)→(9,3)→(9,4)→(9,5)→(9,6)→(9,7)→(9,8)→(9,9)
では合計117なので、如何に道をずらして 9のマスを避け、合計17減らすかを考える。
1のマスを余分に通れば -8、…、8のマスを余分に通れば -1であり、合計8マス分ずれることができる。
さて、道すがら通過する数の種類・個数が決まれば、道順は一意に決まる ( マス内の数字が非減少になるよう辿る必要がある ) ため、求めるものは…、
・1〜8の数字を、重複を許して8個以下選び、合計17とする組み合わせは何通りか
と同値になる。
これを求めるため、3引数の関数 f(max,amount,sum) を導入する。
この関数は、「max以下の数字を、重複を許して計amount個以下使用し、合計sumとする組み合わせ」を表す。
それを、sum=0 の時まで拡張する。 ( なお、1≦max,amount≦8 )
すると、
これより、f(8,8,17) = 164 Ans.164通り
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
この問題は、１〜９の数を、各々少なくとも１個/多くて９個、全部で１７個使用して総和を１００とすることと等価である。
さらに固定部分を差し引くと、０〜８の数を全部で８個使用して総和を４７とすることと等価である
また、方向転換の回数は
１＋（１〜７で使用したものの数）×２＋（０と８で使用したものの数）である。
【問題１】 下記参照
【問題２】 ５回が最小 ４通り
４７は奇数で素数である。
従って少なくとも（１〜７）の奇数を一回は使用し、０以外を２種以上使用しなければならない。
まず ８の使用回数を ５，４，３，２，１ と 順を追い考えると 次の２種のみ成立させられる。
手順数はいずれも５回である。
（１） ４７＝８×５＋７＋０×２
（２） ４７＝８×４＋５×３＋０
因みに
４７＝８×３＋２３ ２３：素数
４７＝８×２＋３１ ３１：素数
４７＝８×１＋３×１３ １３：多すぎる。
さらに、８を使用しない場合で手順数５回になるには（１〜７）を２種類８個使用する場合であって、
（３） ４７＝７×５＋４×３
（４） ４７＝６×７＋５×１
手順としては下記である。
（１） (1,1)→(1,3)→(8,3)→(8,4)→(9,4)→(9,9)
（２） (1,1)→(1,2)→(6,2)→(6,5)→(9,5)→(9,9)
（３） (1,1)→(5,1)→(5,4)→(8,4)→(8,9)→(9,9)
（４） (1,1)→(6,1)→(6,2)→(7,2)→(7,9)→(9,9)
【問題３】 １２回が最大 ５通り
回数を多くするにはなるべく（１〜７）をたくさん使用すればよい。
しかし、１〜８の和は３６であり、４７には１１足りず＝１１＝７＋４＝６＋５である。
従って、たとえば （１）１を８に ２を６に など２箇所なくす必要がある。
よって１２回が最大である。
その他の１２回の場合として
（２） １を８に ３を７に
（３） １を８に ４を８に
（４） １を７に ２を７に
（５） ２を８に ３を８に がある。
手順としては下記である。
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