◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
(2,3)→(2,1)，(2,4)→(2,6)，(3,3)→(3,1)，(2,1)→(4,1)，
(3,4)→(3,6)，(2,6)→(4,6)，(4,2)→(6,2)，(5,4)→(5,2)，
(5,5)→(3,5)，(4,3)→(4,5)，(4,6)→(4,4)，(6,2)→(4,2)，
(4,1)→(4,3)，(4,3)→(4,5)，(3,5)→(5,5)
【問題２】
(2,3)→(2,1)，(2,5)→(2,7)，(4,2)→(2,2)，(2,1)→(2,3)，
(4,6)→(2,6)，(2,7)→(2,5)，(4,4)→(4,6)，(6,4)→(4,4)，
(5,6)→(5,4)，(4,3)→(4,5)，(4,6)→(4,4)，(6,6)→(6,4)，
(2,3)→(4,3)，(2,5)→(4,5)，(6,2)→(4,2)，(4,3)→(4,1)，
(4,5)→(4,3)，(2,4)→(4,4)，(4,4)→(4,2)，(4,1)→(4,3)，
(6,4)→(6,2)，(4,3)→(6,3)，(6,2)→(6,4)，(6,4)→(4,4)
【問題３】
マスを３色で塗り分ける。
6) 12 12 12 不可能。
【おまけ】
Nが３の倍数のとき不可能。
下のプログラムによる結果
REM ３色に塗り分けてその個数を数える。
REM ３色が同数個の場合は不可能
DIM A(101) !N=50まで
DIM B(3)
DIM G$(2)
LET G$(1)=" 可能"
LET G$(2)=" 不可能"
FOR N=1 TO 50
PRINT USING "###":N;
PRINT ")";
FOR I=1 TO 3
LET B(I)=0
NEXT I
LET Z=0
FOR I=1 TO N
LET Z=Z+1
LET A(Z)=I
NEXT I
FOR I=N-1 TO 1 STEP -1
LET Z=Z+1
LET A(Z)=I
NEXT I
FOR I=1 TO 2*N+1
LET R=REMAINDER(I,3)
IF R=0 THEN
LET R=3
END IF
LET B(R)=B(R)+A(I)
NEXT I
FOR I=1 TO 3
PRINT USING "####":B(I);
NEXT I
IF B(1)=B(2) AND B(2)=B(3) THEN
LET F=2
ELSE
LET F=1
END IF
PRINT G$(F)
PRINT
NEXT N
END◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【おまけ解答】
【補題１】
ｎ＝１ の時は初めから成立しており可能である。
【補題２】
ｎ＝２ の時は下図の手順で可能である。
【補題３】
ｎ＝３ｍ のとき 第１４０回の解答方法により分類すると、
各３グループの数は全て ３ｍ2で同一であり、偶奇性が一致して不可能である。
【補題４】
下図に示すように、角の「曲がり４目」の配置はそのうちの「直列に並ぶ３個」を消去することが可能である。
【補題５】
下図に示すように、補題４を用いて一辺ｎ個（ｎ＞３）の問題を
一辺ｎ−３個の問題に十分条件として変換可能である。
【おまけ１】
ｎが３の倍数でないとき可能。
∵ ｎが３の倍数ではないとき、補題５の反復により、ｎ=１または２の問題に変換できる。
補題１，２よりｎ＝１，２は可能である。
よって、解答となる。
【おまけ２】
補題５の手順を繰り替えし、ｎ＝１または２の状態にする。
ｎ＝２になる場合は最後に補題２の手順を適用する。
【おまけ３】
∵ 補題３よりｎが３の倍数のときは不可能である。
◆千葉県 なのはな子 さんからの解答
【問題１】
(3,3)→(1,3)，(2,5)→(2,3)，(5,3)→(3,3)，(5,5)→(5,3)， (2,3)→(4,3)，(4,4)→(2,4)，(4,5)→(2,5)，(2,5)→(2,3)， (1,3)→(3,3)，(4,2)→(4,4)，(5,2)→(5,4)，(5,4)→(3,4)， (2,2)→(4,2)，(3,4)→(3,2)，(4,2)→(2,2) (3,5)→(1,5)，(2,3)→(2,5)，(1,5)→(3,5)，(4,3)→(2,3)， (2,2)→(2,4)，(4,5)→(4,3)，(2,4)→(4,4)，(5,3)→(3,3)， (3,2)→(3,4)，(3,5)→(3,3)，(5,5)→(5,3)，(5,2)→(3,2)， (3,2)→(3,4)，(3,4)→(5,4)，(5,4)→(5,2)【問題２】
(5,2)→(7,2)，(5,3)→(7,3)，(7,2)→(7,4)，(3,3)→(5,3)， (4,5)→(4,3)，(4,2)→(4,4)，(2,2)→(4,2)，(5,4)→(5,2)， (5,2)→(3,2)，(3,5)→(3,3)，(3,2)→(3,4)，(7,4)→(5,4)， (6,5)→(4,5)，(3,4)→(1,4)，(2,6)→(2,4)，(1,4)→(3,4)， (4,4)→(2,4)，(4,6)→(4,4)，(6,6)→(4,6)，(4,6)→(2,6)， (2,3)→(2,5)，(2,6)→(2,4)，(5,4)→(3,4)，(3,4)→(1,4) (5,2)→(7,2)，(5,4)→(5,2)，(4,2)→(6,2)，(2,2)→(4,2)， (3,4)→(5,4)，(5,5)→(5,3)，(3,5)→(5,5)，(4,2)→(4,4)， (2,3)→(4,3)，(4,3)→(4,5)，(4,6)→(4,4)，(2,6)→(4,6)， (5,6)→(3,6)，(2,4)→(2,6)，(2,6)→(4,6)，(6,5)→(4,5)， (6,3)→(6,5)，(6,6)→(6,4)，(7,2)→(5,2)，(5,2)→(5,4)， (4,5)→(4,3)，(6,4)→(4,4)，(4,3)→(4,5)，(4,6)→(4,4) (3,4)→(1,4)，(2,6)→(2,4)，(5,4)→(3,4)，(5,6)→(5,4)， (6,4)→(4,4)，(6,6)→(6,4)，(2,3)→(2,5)，(4,4)→(2,4)， (4,6)→(4,4)，(3,6)→(3,4)，(3,4)→(5,4)，(6,4)→(4,4)， (6,2)→(6,4)，(5,2)→(5,4)，(5,4)→(3,4)，(4,2)→(4,4)， (3,4)→(5,4)，(6,4)→(4,4)，(2,5)→(2,3)，(2,2)→(2,4)， (1,4)→(3,4)，(4,4)→(2,4)，(3,2)→(3,4)，(2,4)→(4,4) (3,6)→(1,6)，(3,5)→(1,5)，(1,6)→(1,4)，(3,3)→(3,5)， (5,4)→(3,4)，(5,6)→(5,4)，(6,4)→(4,4)，(6,6)→(6,4)， (3,4)→(5,4)，(1,4)→(3,4)，(3,5)→(3,3)，(4,6)→(4,4)， (5,4)→(3,4)，(2,2)→(2,4)，(2,4)→(4,4)，(3,2)→(3,4)， (3,4)→(5,4)，(6,4)→(4,4)，(4,3)→(4,5)，(6,3)→(4,3)， (4,2)→(4,4)，(4,5)→(4,3)，(6,2)→(4,2)，(4,2)→(4,4)【問題３】
存在しません。
【おまけ１】
ｎがｎ≧２で３の倍数以外の場合、最後に石が一つだけ残るような手順が存在する。
【おまけ２】
ｎ＝２の場合、上下・左右に各１行・１列のマス目があるとして、
(2,3)→(4,3),(2,2)→(4,2),(4,3)→(4,1)
ｎ＝４、ｎ＝５の場合は、【問題１】【問題２】の解答のとおり。
(ｎ≧７以上の場合については省略。)
【おまけ３】
ｎが３の倍数の場合、１手ごとに
(奇･奇･奇)→(偶･偶･偶)→(奇･奇･奇)→(偶･偶･偶)→…をくり返すことになるので、最後に１つだけ石を残すことは不可能です。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答
【問題１】
(3,4)→(3,6)，(5,5)→(3,5)，(3,6)→(3,4)，(3,3)→(1,3)，
(2,5)→(2,3)，(1,3)→(3,3)，(3,2)→(1,2)，(3,4)→(3,2)，
(4,2)→(2,2)，(1,2)→(3,2)，(4,4)→(4,2)，(4,2)→(6,2)，
(5,4)→(5,2)，(6,2)→(4,2)，(4,2)→(2,2)
最後のマス目は(2,2),(2,5),(5,2),(5,5)しかありません。
理由はおまけ３）に示されています。
【問題２】
(3,3)→(3,1)，(5,2)→(3,2)，(2,2)→(4,2)，(5,3)→(3,3)，
(3,4)→(3,2)，(3,1)→(3,3)，(2,3)→(4,3)，(5,4)→(3,4)，
(4,2)→(4,4)，(5,6)→(7,6)，(6,4)→(6,6)，(6,2)→(6,4)，
(7,6)→(5,6)，(5,6)→(5,4)，(4,5)→(4,3)，(6,4)→(4,4)，
(4,3)→(4,5)，(3,6)→(1,6)，(2,4)→(2,6)，(1,6)→(3,6)，
(4,5)→(2,5)，(4,6)→(2,6)，(2,6)→(2,4)，(2,4)→(4,4)
最後のマス目は(4,4)しかありません。
理由はおまけ３）に書いてあります。
【問題３】
存在しません。
【おまけ１】
３で割り切れないnです。
【おまけ２】
X ABC DのようにＡB,C,Dは石があって,Xのところが石がないとするとＤ,Ａ,Xという順番で動かすと最後に石がＤ のところに一個しか残りません。
ｎ=3m+1の場合、
例としてn=7を考えてみると
XXXXX XHHHO XDEFO XDEFO XDEFO XABCO XABCO XABCO XXXXX3個ずつのA,D,B,E,H,C,Fという順番で石を消すと3*nの石がなくなります。
ｎ=3m+2の場合、
例としてn=8を考えてみると
XXXXX XGGGO XHHHO XDEFO XDEFO XDEFO XABCO XABCO XABCO XXXXX3個ずつのA,D,B,E,G,H,C,Fという順番で石を消すと3*nの石がなくなります。
【おまけ３】
ABC CAB BCAのようにつけると
n*nの場合は
Ａの数
| ＝n+2{(n-3)+(n-6)+...+(n-3[ | n 3 | ])} |
| ＝n+2n[ | n 3 | ]-3[ | n 3 | ] | [ | n+3 3 | ] |
| ＝n+(2n-3-3[ | n 3 | ])[ | n 3 | ] |
BとＣの数は同じで
| ＝{n2 | -{n+(2n-3-3[ | n 3 | ])[ | n 3 | ]}}/2 |
| ＝{n2 | -n-(2n-3-3[ | n 3 | ])[ | n 3 | ]}/2 |
nが３で割り切れる場合、n＝3m。
| このときＡ，B、Ｃの数は同じで=3m2= | n2 3 | 。 |
奇遇を考慮して一個の石が残るような手順が存在しないことが分かります。
nが３で割り切れない場合、
| このときＡの数は= | n2+2 3 | , |
| BとCの数は同じで＝ | n2-1 3 | 。 |
つまりＡの数はＢとＣの数より一個多いことが分かります。
つまり手順が存在する可能性があります。
最後に一個残る方法はおまけ２）に示されています。
また対称性を考慮すると、最後の一個の可能なマス目は二つのケースに考えられます。
一番左上を（１，１）とすると
ｎが奇数の場合、
| ( | n+3 2 | +3r, | n+3 2 | +3s); r,s=-[ | n-1 6 | ],-[ | n-1 6 | ]+1,...,0,...,[ | n-1 6 | ] |
| 合計＝ | (1+2[ | n-1 6 | ]) | 2 |
ｎが偶数の場合、
| ( | n 2 | +3r, | n 2 | +3s); r,s=-[ | n-4 6 | ],-[ | n-4 6 | ]+1,...,0,...,[ | n+2 6 | ] |
| 合計＝ | (2[ | n+2 6 | ]) | 2 | , n＞3 |
◆京都府 sanza さんからの解答
【問題１】
(3,2)→(1,2)，(2,4)→(2,2)，(1,2)→(3,2)，(4,4)→(4,6)，
(2,5)→(4,5)，(4,6)→(4,4)，(4,3)→(6,3)，(5,5)→(5,3)，
(6,3)→(4,3)，(3,3)→(3,1)，(5,2)→(3,2)，(3,1)→(3,3)，
(4,3)→(2,3)，(4,4)→(2,4)，(2,4)→(2,2)
【問題２】
(3,2)→(1,2)，(2,4)→(2,2)，(1,2)→(3,2)，(4,3)→(4,1)，
(6,2)→(4,2)，(4,1)→(4,3)，(5,4)→(7,4)，(6,6)→(6,4)，
(7,4)→(5,4)，(2,5)→(2,7)，(4,6)→(2,6)，(2,7)→(2,5)，
(4,4)→(4,2)，(6,3)→(4,3)，(4,2)→(4,4)，(4,4)→(6,4)，
(5,6)→(5,4)，(6,4)→(4,4)，(4,4)→(4,6)，(2,5)→(4,5)，
(4,6)→(4,4)，(4,4)→(2,4)，(3,2)→(3,4)，(2,4)→(4,4)
【問題３】
無理っス。
【おまけ１】
ｎが３の倍数以外のとき。
（ｎ＝３ｋ＋１、３ｋ＋２のとき）（ｋは０以上の整数）
【おまけ２】
＝前提＝
１、２×２の石は、
● ●● ○● ●● → ●○ → ○○ → ○○ ●● ●のように１個にすることができる。
２、３×３の石は、絶対に一個にはできない。
初手は、
１、真ん中の石を動かす。
２、辺の石を動かす。
の２通りしかない。
● ●● ●○ ● １、 ●●● ●○● ● ○ ● ● ○ ●●● → ● ● → ● → ● → → ● → ● ●●● ●●● ●●● ●●● ○●● ●● ●○ ● ● ● ２、 ●●● ● ○● ● ●● ●●○ ○● ●● ●○ ●●● → ●●● → ●●○ → ●● → ●● → ●○ → ● ●●● ●●● ●● ●● ●● ● ●他の道筋もあるが、いずれにせよ絶対に一個にはできない。
３、連なった３つの石は、絶対に一個にはできない。
●●● と ●● ●
石がくっついている必要があるので、外から消していくのが自然なやり方です。
効率よく消す方法が下記の手順。
この方法で、３つの石を消すことができます。
● ● ●●●● → ●●○● → ○●● → ○● ●●●● ●● ● ●● ● ●●●●のように石を消す事ができます。
まず、一辺が ｎ＝３ｋ＋１ の正方形を考えます。
この外周を上記の方法で取り除いていくと、一辺が ｎ＝３ｋ−１ の正方形になります。
●●●●・・・●●●● ● ● ●●●・・・●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ・ ・ ・ ・ ・ ・ → ・ ・ ・ ・ ・ ・ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●・・・●●● ●●●●・・・●●●●この正方形の外周をさらに取り除きます。
●●●・・・●●● ● ● ● ●●●・・・●● ● ● ● ● ・ ・ ・ ・ ・ ・ → ・ ・ ・ ・ ・ ・ ● ● ● ● ● ● ●●・・・●●● ●●●・・・●●● ●この正方形もどきからさらに外周を取り除くと、
● ●●●・・・●● ● ● ●・・・● ・ ・ ・ ・ ・ ・ → ・ ・ ・ ・ ・ ・ ● ● ●・・・● ●●・・・●●● ●よって
同様に、
ｋ＝４ のとき、 ｎ＝１３、ｎ＝１１ から ｎ＝７ へ
ｋ＝５ のとき、 ｎ＝１６、ｎ＝１４ から ｎ＝１０ へ
サイズを小さくすることが可能です。
ここに周期性が見られます。
よってｎ＝１は自明。ｎ＝２は証明済み。ｎ＝３は不可
ｎ≧４において、 ｎ＝３ｋ＋１、３ｋ＋２（ｋは１以上の整数）ならば題意に適する。
よって、
ｎ＝３ｋ＋１、３ｋ＋２（ｋは０以上の整数）
証明終わり
◆神奈川県 ヘリトンボ さんからの解答
【問題１】
(4,4)→(4,6)，(2,5)→(4,5)，(4,6)→(4,4)，(4,3)→(4,5)，
(5,5)→(3,5)，(2,3)→(4,3)，(3,5)→(3,3)，(4,2)→(4,4)，
(5,4)→(3,4)，(2,4)→(4,4)，(2,2)→(4,2)，(5,2)→(5,4)，
(5,4)→(3,4)，(3,4)→(3,2)，(3,2)→(5,2)
【問題２】
(4,5)→(4,7)，(2,6)→(4,6)，(6,5)→(4,5)，(5,6)→(3,6)，
(6,3)→(6,5)，(6,6)→(6,4)，(4,4)→(4,6)，(4,7)→(4,5)，
(3,5)→(5,5)，(3,3)→(3,5)，(3,6)→(3,4)，(6,4)→(4,4)，
(5,2)→(5,4)，(5,5)→(5,3)，(3,2)→(5,2)，(6,2)→(4,2)，
(5,3)→(3,3)，(2,3)→(4,3)，(2,5)→(2,3)，(2,2)→(2,4)，
(3,4)→(5,4)，(4,2)→(4,4)，(5,4)→(3,4)，(2,4)→(4,4)
【おまけ１】
ｎが３の倍数でないとき
【おまけ３】
盤面のマスにａ・ｂ・ｃの３種類の文字を縦横に規則正しく順番につけていく。
例えば、６×６の盤面であれば次のように文字を配置する。
ａｂｃａｂｃ ｂｃａｂｃａ ｃａｂｃａｂ ａｂｃａｂｃ ｂｃａｂｃａ ｃａｂｃａｂ無限の広さを持つ盤面にもこのように文字をつけていく。
最初、ａ・ｂ・ｃそれぞれのマスにある石が同数の場合、上記より、何回操作を行ってもａ・ｂ・ｃにある石の総数の差は偶数となるため、最後に石が１つ残るという状態をつくることはできない。
ｎが３の倍数のとき、ａ・ｂ・ｃそれぞれに配置されている石の個数は等しくなるので、すなわち、ｎが３の倍数のとき、最後に石が１つだけ残るような手順は存在しない。
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◆ 今週の問題へ
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