◆山梨県 Footmark さんからの解答
問４,問５,問６は、最少手数の解が５通りあります。
なお、『５文字の置き替え』問題を、『５組の夫婦』の解答風に表現すると以下になります。
◆千葉県 なのはな子 さんからの解答
【問題１】 屋1
【問題２】 部2
【問題３】 部1→の1
【問題４】 数2→の1
【問題５】 学1→数2
【問題６】 学2→屋1→数1
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答
数=1,学=3,の=5,部=2,屋=4と定義すると
動かす前のパターンは1-3-5-2-4 (五角形の頂点の時計回り)
このパターンは12345(星形の頂点の時計回り)のパターンの一対一の関係です。
元のパターンの示し方を1-3-5-2-4とし、変形したパターンの示し方を12345とします。
各操作の最後の手順(数が上にくるようにすること)は順番に影響ないし、回転されても同じパターンと考えます。
XYZWUのパターンを考えます。
操作X(１)はXとUの置き換え操作になります。→(XUYZW)
つまりXと左側の隣の文字と置き換えることです。
操作X(２)はXとWとUの一回逆時計回り回転操作になります。→(XWUYZ)
(Xを反対の辺にいれると同じ)
(＝操作X(１)X(１)または 操作X(３)X(３))
操作X(３)はXとYの置き換え操作になります。→(XZWUY)
つまりXと右側の隣の文字と置き換えることです。
(＝操作Y(１))
【問題１】
12345→13245
手順３(１)または２(３)
【問題２】
12345→12534
手順５(２)
【問題３】
12345→13542
手順２(２)，５(２)
【問題４】
12345→14253
手順４(２)，５(３)
【問題５】
12345→13524
手順２(２)，１(３)
【問題６】
12345→15432
手順５(３)，２(３)，４(２)
【おまけ】
操作X１(一つ離れている文字と交換)と12345→15423のような操作
(１と４の交換、つまり二つ離れている文字と交換)(操作＝X(２)W(３))
ができるため他の操作この二つの操作の組合せによってつくれます。
| パターン数＝ | ５！ ５ |
＝２４ |
２４パターンのなか、動かす前のパターン(１２３４５)をひいたら、２３パターンになります。
問題１)から３)のような操作とX(２)W(３)の操作がそれぞれ違った５パターンに並べられます。
(手順数＝１、１、２、２)
あと３つは問題４)から６)のようなパターンです。
(手順数＝２、２、３)
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】 屋1
【問題２】 部2
【問題３】
の1→部1
部1→の1
【問題４】
数2→の1
学2→部1
の2→屋1
部2→数1
屋2→学1
【問題５】
数1→屋2
学1→数2
の1→学2
部1→の2
屋1→部2
【問題６】
数 1 屋 1 学 2
数 1 学 1 の 2
数 1 学 2 屋 1
数 1 の 2 学 1
数 2 屋 1 部 1
数 2 部 1 屋 1
学 1 数 1 の 2
学 1 の 1 部 2
学 1 の 2 数 1
学 1 部 2 の 1
学 2 数 1 屋 1
学 2 屋 1 数 1
の 1 部 1 屋 2
の 1 部 2 学 1
の 1 屋 2 部 1
の 1 学 1 部 2
の 2 数 1 学 1
の 2 学 1 数 1
部 1 数 2 屋 1
部 1 の 1 屋 2
部 1 屋 1 数 2
部 1 屋 2 の 1
部 2 の 1 学 1
部 2 学 1 の 1
屋 1 数 1 学 2
屋 1 数 2 部 1
屋 1 学 2 数 1
屋 1 部 1 数 2
屋 2 部 1 の 1
屋 2 の 1 部 1
【おまけ】
Ｆ（部３）＝Ｆ（数１）
Ｆ（屋３）＝Ｆ（学１）
Ｆ（数３）＝Ｆ（の１）
Ｆ（学３）＝Ｆ（部１）
Ｆ（の３）＝Ｆ（屋１）
以上の関係から「３」は不必要。
Ｆ（Ｘ２）+Ｆ（Ｘ２）
Ｆ（数１）+Ｆ（部１）
Ｆ（学１）+Ｆ（屋１）
Ｆ（の１）+Ｆ（数１）
Ｆ（部１）+Ｆ（学１）
Ｆ（屋１）+Ｆ（の１）
以上の操作は元に戻ってしまう。
Ｆ（Ｘ１）+Ｆ（Ｘ１）＝Ｆ（Ｘ２）
Ｆ（Ｘ１）+Ｆ（Ｘ２）＝Ｆ（Ｘ３）＝Ｆ（Ｙ１）
Ｆ（Ｘ２）+Ｆ（Ｘ１）＝Ｆ（Ｘ３）＝Ｆ（Ｙ１）
Ｆ（Ｘ１）+Ｆ（Ｘ１）+Ｆ（Ｘ１）＝Ｆ（Ｘ３）＝Ｆ（Ｙ１）
Ｘ＜＞Ｙ
以上の関係が成り立つ。
●元に戻すための最小の置換回数と手数との関係 数学の部屋
置換回数
A)
数学屋部の (3)
屋 1
数部の学屋 (3)
部 1
数部屋の学 (5)
の 1
数屋の部学 (5)
学 1
数屋部学の (5)
数 1
B)
数の学屋部 (2)
数 2
数の屋部学 (4)
の 2
数部の屋学 (4)
屋 2
数屋学部の (4)
学 2
数屋の学部 (4)
部 2
C)
数学部屋の (2)
数 1 学 1
学 1 数 1
数学屋の部 (2)
の 1 部 1
部 1 の 1
数の部学屋 (2)
数 1 屋 1
屋 1 数 1
数部学の屋 (2)
学 1 の 1
の 1 学 1
数部屋学の (4)
部 1 屋 1
屋 1 部 1
D)
数学の屋部 (1)
学 1 部 2
部 1 屋 2
部 2 学 1
屋 2 部 1
数学部の屋 (1)
数 1 の 2
の 1 部 2
の 2 数 1
部 2 の 1
数の学部屋 (1)
学 1 の 2
学 2 屋 1
の 2 学 1
屋 1 学 2
数の部屋学 (3)
数 1 学 2
数 2 部 1
学 2 数 1
部 1 数 2
数屋学の部 (3)
数 2 屋 1
の 1 屋 2
屋 1 数 2
屋 2 の 1
E)
数の屋学部 (3)
数 1 屋 2
学 1 数 2
の 1 学 2
部 1 の 2
屋 1 部 2
数部学屋の (3)
数 2 の 1
学 2 部 1
の 2 屋 1
部 2 数 1
屋 2 学 1
F)
数屋部の学 (6)
数 1 屋 1 学 2
数 1 学 1 の 2
数 1 学 2 屋 1
数 1 の 2 学 1
数 2 屋 1 部 1
数 2 部 1 屋 1
学 1 数 1 の 2
学 1 の 1 部 2
学 1 の 2 数 1
学 1 部 2 の 1
学 2 数 1 屋 1
学 2 屋 1 数 1
の 1 部 1 屋 2
の 1 部 2 学 1
の 1 屋 2 部 1
の 1 学 1 部 2
の 2 数 1 学 1
の 2 学 1 数 1
部 1 数 2 屋 1
部 1 の 1 屋 2
部 1 屋 1 数 2
部 1 屋 2 の 1
部 2 の 1 学 1
部 2 学 1 の 1
屋 1 数 1 学 2
屋 1 数 2 部 1
屋 1 学 2 数 1
屋 1 部 1 数 2
屋 2 部 1 の 1
屋 2 の 1 部 1
●アプローチの方針
Ｆ（部３）＝Ｆ（数１）
Ｆ（屋３）＝Ｆ（学１）
Ｆ（数３）＝Ｆ（の１）
Ｆ（学３）＝Ｆ（部１）
Ｆ（の３）＝Ｆ（屋１）
以上の関係から「３」は不必要。
１）Ｆ（数１）*Ｆ（部１）
２）Ｆ（学１）*Ｆ（屋１）
３）Ｆ（の１）*Ｆ（数１）
４）Ｆ（部１）*Ｆ（学１）
５）Ｆ（屋１）*Ｆ（の１）
６）Ｆ（数２）*Ｆ（数２）
７）Ｆ（学２）*Ｆ（学２）
８）Ｆ（の２）*Ｆ（の２）
９）Ｆ（部２）*Ｆ（部２）
１０）Ｆ（屋２）*Ｆ（屋２）
以上の操作は元に戻る。
１１）Ｆ（数１）*Ｆ（数１）＝Ｆ（数２）
１２）Ｆ（学１）*Ｆ（学１）＝Ｆ（学２）
１３）Ｆ（の１）*Ｆ（の１）＝Ｆ（の２）
１４）Ｆ（部１）*Ｆ（部１）＝Ｆ（部２）
１５）Ｆ（屋１）*Ｆ（屋１）＝Ｆ（屋２）
１６）Ｆ（数１）*Ｆ（数２）＝Ｆ（の１）
１７）Ｆ（数２）*Ｆ（数１）＝Ｆ（の１）
１８）Ｆ（学１）*Ｆ（学２）＝Ｆ（部１）
１９）Ｆ（学２）*Ｆ（学１）＝Ｆ（部１）
２０）Ｆ（の１）*Ｆ（の２）＝Ｆ（屋１）
２１）Ｆ（の２）*Ｆ（の１）＝Ｆ（屋１）
２２）Ｆ（部１）*Ｆ（部２）＝Ｆ（数１）
２３）Ｆ（部１）*Ｆ（部２）＝Ｆ（数１）
２４）Ｆ（屋１）*Ｆ（屋２）＝Ｆ（学１）
２５）Ｆ（屋２）*Ｆ（屋１）＝Ｆ（学１）
以上の関係が成り立つ。
Ｆ（ ）を５行５列の正方行列で表す。
元に戻る操作は単位行列とする。
５行５列の正方行列は２５個の要素で構成されるので、上記２５個の関係式から一意に決まるはずである。
Ｆ（ ）の操作を以下のように定義する。
（１，５）*（５，５）＝（１，５） 数 １
学 ２
の ３
部 ４
屋 ５
数学の部屋＝（１，２．３，４，５）
今回の問題は行列の積の問題に還元される。
実際のモデルが提示出来ればいいのですが、、、。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】 屋1
【問題２】 部2
【問題３】 部1→の1
【問題４】 数2→の1
【問題５】 屋1→部2
【問題６】 屋1→数2→部1
【おまけ】
３回以内で可能である。
全部で５×３＝１５種の操作があるが、このうち同じ結果になるものを除くと表１に示すように１０種である。
これらは「学」〜「屋」の４個の置換であり、この中に互換が３種含まれている。
（表１tagオレンジ）
残り３種の互換は表２に示すように２操作で合成可能である。
全ての４要素置換は最大３種の互換で合成可能であるから、任意の並びにすることが可能である。
表３は無＆１操作後状態の１１種の状態を並べた直した表である。
表３に示すように、１回以下の操作で任意の並びと多くても１互換差状態にすることが可能である。
一方、互換は最大２操作で実現できる。
よって最大３操作で可能である。
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