◆千葉県の高校生 小八兵衛 さんからの解答。
【問題１】
立方体のみ。
【問題２】
正四面体と正八面体。
証明は頭のいい人たちに任せます（←オイオイ
【補足】
立方体は正四面体と1/8正八面体(面は直角二等辺三角形３枚と正三角形１枚の四つ)に分解出来ますので、
【答え１】と【答え２】は同じようなものといえます。
◆東京都 鳥居 さんからの解答。
【問題１】
２つの隣り合う面同士が交差する角度をθとする。
その２つの面が交わった部分が辺となるが、その辺上にできる立体角φは、半径１の球面上にできる角度θの球面２角形の面積に等しく、2θである。
また頂点にｎ個の面が集まっている場合、その頂点における立体角ωは、半径１の球面上にできる角度θの球面ｎ角形の面積に等しく、
nθ−(n−2)πである。
※ここでは球面過剰を利用しています。
球面過剰の解説は、『球面上の正三角形の面積』解答の中にあります。
各正多面体の面交差角θ、辺立体角φ、頂点立体角ωをまとめると以下のようになる。
| 正多面体 | 面交差角 θ | 辺立体角 φ | 頂点立体角 ω | |||
| 正４面体 |
| φ4＝2.46192＝2θ4 | ω4＝0.55129＝3θ4−π | |||
| 正６面体 |
| φ6＝3.14159＝2θ6 | ω6＝1.57080＝3θ6−π | |||
| 正８面体 |
| φ8＝3.82127＝2θ8 | ω8＝1.35935＝4θ8−2π | |||
| 正１２面体 |
| φ12＝4.06889＝2θ12 | ω12＝2.96174＝3θ12−π | |||
| 正２０面体 |
| φ20＝4.82373＝2θ20 | ω20＝2.63455＝5θ20−3π |
具体例として、4φ6＝4π, 8ω6＝4π より、正６面体の辺４つを集めることと、頂点８つ集めることで構成できる。
別の例として、3φ6＋2ω6＝4π より、正６面体の辺３つと頂点２つを集めることも可能である。
問題２の条件を満たすためには、
２種類のφkを整数倍して足し合わせたものが４πになるものを見つけることになるが、
2φ4＋2φ8＝4π しかなく、正４面体と正８面体の組み合わせが答えになる。
具体例として、
2φ4＋2φ8＝4π,
8ω4＋6ω8＝4π より、
正４面体の辺２つと正８面体の辺２つを集め、さらに正４面体の頂点８つと正８面体の頂点６つを集める方法がある。
別の例として、
φ4＋2φ8＋2ω4＋ω8＝4π,
2φ4＋φ8＋2ω4＋2ω8＝4π
より、正４面体の辺１つと正８面体の辺２つと正４面体の頂点２つと正８面体の頂点１つを集め、別の箇所では正４面体の辺２つと正８面体の辺１つと正４面体の頂点２つと正８面体の頂点２つを集めることも可能である。
ここに挙げた２つの例を下に図示する。
(ただし表示は正８面体のみで、正４面体は表示させていない。)