◆大阪府 macsyma2e さんからの解答。
球面の中心をO、3頂点をA,B,Cとおくと、
3平面OAB,OBC,OCAは互いに大きさ | 2π 3 | の角をなすので、 |
球面過剰=3× | 2π 3 | −π |
つまり、求める面積=π×R2.
◆出題者のコメント
解答ありがとうございます。
正解です。
別解として、正四面体の外接球の半径をRとすると、
4つの面の正三角形の外接円の半径は | 2 3 |
R |
よって、求める球面正三角形の面積は
球の表面積の4分の1である πR2 。
本問に限っては、こんな発見的解法もあるでしょうが、一意に得られないのと一般に応用できないのが弱点です。
その点、球面過剰を利用したmacsyma2eさんの簡潔で鮮やかな解法は優れています。
球面過剰の式をご存知ない方のために、以下若干補足説明をします。
球面上の2点間の最短経路は、その2点を通る大円(球の中心を含み円周が球面上にある円)の小さい方の円弧です。
また、2つの大円の面角度は、球面上では2本の大円の円弧が交差する角度になります。
(面白いことに、球面上では2つの大円による、切ったスイカの皮の表面のような球面2角形も存在します。)
2本の円弧が球面n(≧2)角形の隣り合った2辺なら、2つの大円の面角度は頂点の内角にあたります。
そこで、球を球の中心を通る2つの平面で切断すると、切り口の2つの大円は2点で交差し、球面上に4つに切ったスイカの皮の形ができます。
1つのスイカの皮の表面積は、2つの切断面の面角度をθ(ラジアン)とすると以下となるのは明らかです。
1つのスイカの皮の表面積
= 球の表面積 × | θ 2π |
= 4πR2 × | θ 2π |
= 2θR2 ・・・(1) |
さらにもう1回、球の中心を通る平面で3番目の切断するものとします。
3つとも大円の直径が重なるなら、大円同士の交点は2つのままで球面上の切ったスイカの皮は6つになります。
ところが、3つの大円の直径が重ならないように3番目の切断をすると、大円同士の交点は6つになり、球面上にあった切ったスイカの皮の形はいずれも崩れ、8つの球面三角形になります。
当然ですが、8つの球面三角形は球の中心で点対称にある2つずつがそれぞれ合同になっています。
それ故、任意の球面三角形と、それと辺を共有する3つの球面三角形の、合わせて4つの球面三角形の全面積は
球の表面積の半分の 2πR2 です。
この4つの球面三角形を、切ったスイカの皮3つが真ん中の球面三角形の部分で重なっていると考えると、真ん中の球面三角形の面積Sは(1)式より以下になります。
(ただし、真ん中の球面三角形の3つの切断面のそれぞれ隣り合った面角度を θ1,θ2,θ3 とします。)
2πR2 = 2θ1R2 + 2θ2R2 + 2θ3R2 − 2S
∴ S=(θ1+θ2+θ3−π)R2
本問は球面正三角形で、
θ1 = θ2 = θ3 = | 2π 3 | ですから、 |
求める面積Sは
S = {( 3 × | 2π 3 | ) − π } | R2= πR2 |
一般に、
半径Rの球面上の球面n(≧2)角形の面積={(内角の総和)−(n−2)π}R2です。
n=2 や n=3 の場合は示しましたが、4以上のnに対しても n=3 から順次イモづる式に得られます。