◆石川県 数学好き さんからの解答。
【問題１】
４桁の数の場合は、最後は必ず６１７４になります。
【問題２】
３桁の数の場合は、最後は必ず４９５になります。
【問題３】
２桁の数の場合は、
８１→６３→２７→４５→０９→８１で巡回します。
【問題５】
５桁の数の場合は、
53955→59994 →53955・・や
82962→75933→63954→61974→82962→・・や
83952→74943→62964→71973→83952→・・
で巡回するパターンがあるようですが、確認できていません。
【コメント】
４桁の場合は最大７回で、６１７４になるそうです。
インドのカプリカという人が発見したので、カプリカ数と言われます。
神奈川県の三島 久典さんから「４桁の正の整数」に関するページを教えていただいたのでぜひご覧ください。
ただし英語です。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】で７回の計算が必要な数。「おまけの問題」
条件を満たす４桁の数の個数は８９９１。
９×１０×１０×１０−９＝８９９１。
７回で６１７４になる４桁の数の個数は１９８０個。
１）１００４
２）１００５
３）１００６
４）１０２４
５）１０２５
６）１０２６
７）１０３５
８）１０４０
９）１０４２
10）１０５０
．．．．．．．．．
．．．．．．．．．
1970）９９３８
1971）９９４０
1972）９９４１
1973）９９４７
1974）９９４８
1975）９９５０
1976）９９５８
1977）９９７４
1978）９９８３
1979）９９８４
1980）９９８５
プログラムを組んで実験しました。
予想より多くありました。
| ２２０ ―――――― ９９９ | ＝０．２２０２２０・・・ |
【コメント】
こんなに多いというのは正直いって驚きました。
桁数が小さい場合は、力技でも証明できるのですが、なかなか大変な問題ですね。
◆東京都 未菜実 さんからの解答。
”４桁の正の整数”の検討結果をまとめてみました。
（1） ２桁の場合
(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)・・(a≧b)
a-b の値の違いによって10のケースに分かれますが、最終的に
9-81-63-27-45 で循環します。
Excelのデータはこちらです。 参考図1
（2） ３桁の場合
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=99(a-c)・・ (a≧b≧c)
a-c の値の違いによって10のケースに分かれますが、最終的に
495 に収束します。
Excelのデータはこちらです。 参考図2
（3） ４桁の場合
(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)
=999(a-d)+90(b-c)・・ (a≧b≧c≧d)
a- d,b-c の値で55 種類に分かれますが、最終的に
6174 に収束します。
Excelのデータはこちらです。 参考図3
（4） ５桁の場合
61974-82962-75933-63954 の形で循環するもの
・・ 43,770 通り
62964-71973-83952-74943 の形で循環するもの
・・ 43,219 通り
53955-59994・・ の形で循環するもの
・・ 3,002 通り
全数同じ数字・・ 9 通り
（5） ６桁の場合
極一部のみ調べてみました。
大半は
851742-750843-840852-860832- 862632-642654-420876で循環する。
一部は 631764 に収束します。
(例：123555等)
◆東京都 未菜実 さんからの解答。
６桁以上の場合も調べてみました。
●６桁の場合
851742-750843-840852-860832-862632-642654-420876で循環するもの
631764 に収束するもの。
(例 200,034)
56,180 通り
549945 に収束するもの。
(例 200,255）
1,815 通り
全数同じ数字。
(例 111,111)
9 通り
●７桁の場合
・・8649432-7519743-8429652-7619733-8439552-7509843-9529641-8719722で循環
・・全数同じ数字
●８桁の場合
・・86308632-86326632-64326654-43208766-85317642-75308643-84308652で循環
・・86526432-64308654-83208762 で循環
・・97508421 に収束
・・63317664 に収束
・・全数同じ数字
●９桁の場合
・・865296432-763197633-844296552-762098733-964395531-863098632-965296431-873197622-865395432-753098643-954197541-883098612-976494321-874197522で循環
・・864197532 に収束
・・全数同じ数字
●10桁の場合
・・8633266632-6433266654-4332087666-8533176642-7533086643-8433086652-8633086632で循環
・・8655264432-6431088654-8732087622 で循環
・・8653266432-6433086654-8332087662 で循環
・・8765264322-6543086544-8321088762 で循環
・・9751088421-9775084221-9755084421 で循環
・・9753086421 に収束
・・9975084201 に収束
・・全数同じ数字
各々の個数は計算結果が出しだい報告します。
◆東京都 未菜実 さんからの解答。
15桁まで調べてみました。
（14桁までは全数調べています。
15桁は一部なので漏れがあるかもしれません。）
とっても面白い結果が見えてきました。
○７桁の場合
・8649432-7519743-8429652-7619733-8439552-7509843-9529641-8719722で循環8,999,991 通り
・全数同じ数字 9 通り
○８桁の場合
・86308632-86326632-64326654-43208766-85317642-75308643-84308652で循環44,202,099 通り
・86526432-64308654-83208762 で循環
43,200,472 通り
・97508421 に収束 2,041,186 通り
・63317664 に収束 556,234 通り
・全数同じ数字 9 通り
○９桁の場合
・865296432-763197633-844296552-762098733-964395531-863098632-965296431- 873197622-865395432-753098643-954197541-883098612-976494321-874197522で循環215,743,229 通り
・763197633-844296552-762098733-964395531-863098632-965296431-873197622- 865395432-753098643-954197541-883098612-976494321-874197522-865296432で循環132,638,098 通り
・863098632-965296431-873197622-865395432-753098643-954197541-883098612 976494321-874197522-865296432-763197633-844296552-762098733-964395531で循環504,841,238 通り
・554999445 に収束 32,116 通り
・864197532 に収束 46,745,310 通り
・全数同じ数字 9 通り
○10桁の場合
・8633266632-6433266654-4332087666-8533176642-7533086643-8433086652-8633086632で循環
・8655264432-6431088654-8732087622 で循環 ・8653266432-6433086654-8332087662 で循環 ・8765264322-6543086544-8321088762 で循環 ・9751088421-9775084221-9755084421 で循環 ・6333176664 に収束 ・9753086421 に収束 ・9975084201 に収束 ・全数同じ数字○11桁の場合
・76320987633-96442965531-87320987622-96653954331-86330986632-96532966431-87331976622-86542965432で循環
・96641975331-88431976512-87641975322-86541975432-86420987532で循環
・86431976532 に収束
・全数同じ数字
○ 12桁の場合
・863330866632-863332666632-643332666654-433320876666-853331766642-753330866643-843330866652で循環
・865332666432-643330866654-833320876662 で循環 ・865532664432-643310886654-873320876622 で循環 ・865552644432-643110888654-877320876222 で循環 ・876532664322-654330866544-833210887662 で循環 ・876552644322-654310886544-873210887622 で循環 ・877652643222-655430865444-832110888762 で循環 ・975510884421-977510884221-977550844221 で循環 ・975530864421-975310886421-977530864221 で循環 ・997550844201-997510884201-997750842201 で循環 ・977750842221-975550844421-975110888421 で循環 ・633331766664 に収束 ・997530864201 に収束 ・999750842001 に収束 ・975330866421 に収束 ・555499994445 に収束 ・全数同じ数字○ 13桁の場合
・8854319765412-8764209875322-9665419754331-8843209876512-9766419753321で循環
・8843319766512-8764319765322-8654319765432-8643209876532-9664319765331で循環
・8874319765212-8765419754322-8654209875432-9664209875331-9864319765311で循環
・8733209876622-9665429654331 で循環
・8643319766532 に収束
・全数同じ数字
○ 14桁の場合
・86333326666632-64333326666654-43333208766666-85333317666642- 75333308666643-84333308666652-86333308666632で循環
・86533326666432-64333308666654-83333208766662 で循環 ・86553326664432-64333108866654-87333208766622 で循環 ・86555326644432-64331108886654-87733208766222 で循環 ・86555526444432-64311108888654-87773208762222 で循環 ・87653326664322-65433308666544-83332108876662 で循環 ・87655326644322-65433108866544-87332108876622 で循環 ・87655526444322-65431108886544-87732108876222 で循環 ・87765326643222-65543308665444-83321108887662 で循環 ・87765526443222-65543108865444-87321108887622 で循環 ・87776526432222-65554308654444-83211108888762 で循環 ・97753308664221-97553308664421-97533108866421 で循環 ・97755308644221-97553108864421-97753108864221 で循環 ・97775108842221-97755508444221-97551108884421 で循環 ・97775308642221-97555308644421-97531108886421 で循環 ・97775508442221-97555108844421-97751108884221 で循環 ・97777508422221-97555508444421-97511108888421 で循環 ・99755108844201-99775108842201-99775508442201 で循環 ・99777508422201-99755508444201-99751108884201 で循環 ・99775308642201-99755308644201-99753108864201 で循環 ・99977508422001-99975508442001-99975108842001 で循環 ・97533308666421 に収束 ・97755108844221 に収束 ・99753308664201 に収束 ・99975308642001 に収束 ・99997508420001 に収束 ・63333317666664 に収束 ・全数同じ数字○15桁の場合
・876543197654322-865432098765432-966432098765331-986433197665311-887433197665212で循環
・865433197665432-864332098766532-966433197665331-884333197666512-876433197665322で循環
・887543197654212-876542098754322-966542098754331-986432098765311-987643197653211で循環
・976642098753321-986543197654311-887432098765212-976654197543321-885432098765412で循環
・966543197654331-884332098766512-976643197653321-885433197665412-876432098765322で循環
・966543296654331-873332098766622 で循環
・864333197666532 に収束
・555549999944445 に収束
・全数同じ数字
ここで、収束するもの全てを整理して見ました。
（同様の規則は循環するものの中にも見受けられます。）
ずいぶんきれいな規則ですね。ケース(1)
495 （3桁）
549945 (6桁）
554999445 (9桁)
555499994445 (12桁)
555549999944445 (15桁)
ケース(2)
6174 (4桁)
631764 （6桁）
63317664 （8桁）
6333176664 (10桁)
633331766664 (12桁)
63333317666664 (14桁)
ケース(3)
864197532 (9桁)
86431976532 (11桁)
8643319766532 (13桁)
864333197666532 (15桁)
ケース(4)
A系列
97508421 (8桁)
9753086421 (10桁)
975330866421 (12桁)
97533308666421 (14桁)
B系列
9975084201 (10桁)
999750842001 (12桁)
99997508420001 (14桁)
C系列
997530864201 (12桁)
99975308642001 (14桁)
D系列
99753308664201 (14桁)
E系列
97755108844221 (14桁)