∠GＢＣ＝∠GCA＝３０度です。
即ちG=Dです。
よって AB=AD
【問題２】
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
∠ＡＢＣ＝２×∠ＡＣＢであるので
AB=AE=ECである点EをBC上にとることが可能です。
Aを中心としBEを通る円と Eを中心としACを通る円との交点Gを下図のようにとります。
すると三角形AEGは正三角形なので頂角は６０度であり、円周角と中心角の関係から
∠GＢＣ＝∠GCA＝３０度です。
即ちG=Dです。
よって AB=AD
【問題２】
『１／８の正方形』と基本的には同じです。
◆出題者のコメント
問題１、問題２ともにすばらしい解答で感激いたしました。
特に問題２の方は、私が長年かけて思いついた解答とは全く違うエレガントなもので、出題して本当によかったと思います。
◆新潟県 加藤 英晴 さんからの解答
【問題１】
AB＝AEとなるような点Eを線分BC上にとる。
∠ACE＝ｘ,線分AB＝ａとおくと,
仮定より,∠BDC＝１２０°−ｘ,
BC＝２ａcos２ｘ＋ａ.
△DBCで正弦定理を用いて,
| DC＝ | ａ(４（cosｘ）2−１) √３cosｘ＋sinｘ |
. |
◆出題者のコメント
新潟県 加藤英晴さんの答えに対するコメント
＜問題１について＞
計算の過程は省略されていますが、正解です。
幾何の方法にもチャレンジして下さい。