◆Takaaki Yosiduさんからの解答。
【コメント】
この図をよく見て考えてみてください。
∠ＣＤＢの大きさがわかった方、またメールくださいね。
◆海外の高校生 Masanao Chidaさんからの解答。
答えは８０度
◆海外 nymc さんからの解答。
この問題の図において、点A, C, D, E, H の位置関係は
『中学生からの挑戦状Part６』のそれぞれ点C, D, B, A, H の位置関係と同じである。
すなわちPart６の（C, D, B, A, H）をそれぞれ（A, C, D, E, H）と置きかえると
この『中学生からの挑戦状Part８』の左半分と同じ図形になる。
Part6の答えを利用すると、この問題では
∠ACE＝40度となる。
すると、
∠CAD＝180−（∠ACD+∠ADC）
＝180−（70+80）
＝30度
よって、
∠CBF＝∠CAD＝30度
ここで、BFとCDの交点をGとすると、平行線の錯角なので
∠BGD＝∠ADG＝80度
よって、
∠BCG＝∠BGD−∠CBG
＝80−30
＝50度
三角形BCDはBD=CDの二等辺三角形なので
∠CDB＝180−２ｘ∠BCG＝80度（答え）
左半分がPART６と同じだということに気づけばあとは簡単。
どうやっても解けますね。
◆東京都 榎本 孝一 さんからの解答。
掲載されている解答と違う答がでました。
∠CBDが30°になるところまでは，既出の問題・解答と同じなので省略します。
FD//CBなので，∠BFDも30°となります。
ここで，△CFDを辺CDについて折り返し，△CODを作る。
このとき，△CFOは正三角形となり，
OC＝OFであり，∠CBF＝30°，∠COF＝60°であること等から，
点Oは△BCFの外心となります。
よって，OC＝OF＝OBです。
また，題意より，DC＝DBであることから，
△DOC≡△DOBとなります。
よって，∠ODC＝∠ODBで，
先ほどの，折り返した関係から，
∠CDF＝∠CDOで，FD//CBより，
∠BCD＝∠CDFとなります。
これらのことから，∠BCD＝x とすると，
∠CBD＝ ∠BCD＝∠CDF＝∠CDO＝∠BDO＝x
となり，△BCDの内角について考えると，
∠BCD＋∠CBD＋∠CDB
＝∠BCD＋∠CBD＋∠CDO＋∠BDO
＝ x ＋ x ＋ x ＋ x
＝4x
＝180
よって，x＝45°なので，
∠CDB＝90°・・・（答）
◆大分県 ケンタロウ さんからの解答。
まず、線分ＢＤをＢ側に延長線を引き延長線上の任意の点Ｇをおく。
∠ＣＤＢをＸとすると、問題から△ＣＢＤは二等辺三角形であることがわかる。
そのことから
| ∠ＣＢＤ＝９０− | Ｘ ２ |
（△ＣＤＢより） |
よって、∠ＣＢＤ＋∠ＣＢＦ＝１８０度から
| ９０− | Ｘ ２ |
＋５０＋Ｘ＝１８０ |
故に、∠ＣＤＢは８０度。
◆静岡県の中学校３年生 Mr.X さんからの解答。
CB//EDだから、∠CDE＝∠DCB＝50°(錯角)
辺CD＝辺DBで、二等辺三角形になるから、
∠DCB＝∠DBC＝50°
50°＋50°＝100°
180°−100°＝80°だから∠CDB＝80°
◆静岡県 村松 芳子 さんからの解答。
まず、∠ＣＡＤ＝３０°を求める。
（挑戦状のpart６を参考にして求める）
したがって、∠ＣＢＦ＝３０°
次に、図のように、線分ＦＢを一辺とする正三角形ＦＢＧを作図する。
∠ＢＦＤ＝∠ＤＦＧ＝３０°、ＦＢ＝ＦＧ、ＦＤは共通より、
△ＦＤＢ≡△ＦＤＧ
ゆえに、ＤＢ＝ＤＧ
条件よりＣＤ＝ＤＢだから、ＤＢ＝ＤＧ＝ＣＤ
したがって、Ｃ，Ｂ，ＧはＤを中心とする同一円周上の点である。
∠ＣＢＧ＝３０°＋６０°＝９０°だから、∠ＣＤＧ＝１８０°
すなわち、ＣＤＧは直線である。
また、∠ＦＢＧ＝６０°、∠ＦＣＧ＝３０°より、Ｃ，Ｆ，Ｇは点Ｂを中心とする同一円周上にあると言える。
ゆえに、ＢＣ＝ＢＦ＝ＢＧ（半径）
ゆえに、△ＢＣＦは頂角３０°の二等辺三角形である。
ゆえに、∠ＢＣＦ＝７５°
ゆえに、∠ＢＣＤ＝７５°−３０°＝４５°
ゆえに、△ＣＤＢは底角４５°の二等辺三角形である。
したがって、∠ＣＤＢ＝９０°
（終わり）
「寄せられた解答」のなかで、榎本さん以外は皆８０°となっていますが、これは間違いです。
この間違いについて説明します。
∠ＣＤＢ＝８０°なら、∠ＤＣＢ＝∠ＤＢＣ＝５０°
∠ＣＤＥ＝５０°だから、ＣＢ//ＥＤ
条件よりＦＤ//ＤＢだから、点Ｆと点Ｅは一致することになる。
図のような、角度の関係となる。一見、正しい関係のように見えます。ところが．．．．
ＣＤをＤの方向に延長し、ＢＤ＝ＤＧとなるように、Ｇをとる。
∠ＢＤＧ＝１００°だから、∠ＤＢＧ＝∠ＤＧＢ＝４０°
∠ＥＤＢ＝１３０°、∠ＢＤＧ＝１００°だから、
∠ＥＤＧ＝１３０°
ゆえに、△ＥＤＢ≡△ＥＤＧ（二辺夾角より）
したがって、△ＥＧＢは正三角形である。
∠ＥＣＧ＝３０°（円周角）、∠ＥＢＧ＝６０°（中心角）の関係より、Ｃ，Ｅ，ＧはＢを中心とする同一円周上の点である。
ゆえに ＣＢ＝ＥＢ＝ＧＢとなり、∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ＝７５°
ところが、図では∠ＢＣＥ＝８０°であるから、図の角度が間違っていることになる。
すなわち、ＦとＥは異なる点でなければならない。