『ホワイトノイズ』 解答

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答。

全部のホワイトノイズのパターンは2ⁿ。

その中、φ_i が入っているパターンは　2^n-1パターン。

その中、φ_i とφ_j　（i ≠ j) がいっしょにホワイトノイズに入っているパターンは
2^n-2 パターン。

ω_ijはφ_iとφ_jの角度とします。

E[|W|²]

＝E[|

n Σ i=1

φi

|2]

＝

n Σ i=1

E[|φi|2]+

n Σ i>j≧1

2E[|φi.φj|]

＝

n Σ i=1

2n-1 2n

|φi|2+

n Σ i>j≧1

2*2n-2 2n

|φi||φj|cos(ωij)

＝

n Σ i=1

|φi|2 2

+

n Σ i>j≧1

|φi||φj|cos(ωij) 2

|

n Σ i=1

φi

|=a とすると

n Σ i>j≧1

|φi||φj|cos(ωij)

＝

a2 2

−

n Σ i=1 |φi|2 2

つまり

E[|W|2]＝

a2 4

＋

n Σ i=1 |φi|2 4

a=0, |φi|2＝

1 n

より

E[|W|2]＝

1 4

◆出題者のコメント。

解答ありがとうございます。正解です。

ここで導き出される結論は大学レベルなのですが、証明は初歩のヴェクトルと初歩の確率論で可能というところが面白いです。
なお、cos(ω)を持ち出さず、もうすこし単純に証明可能です。

◆山梨県　Footmark さんからの解答。

各ベクトルを原点(0,0)からの位置ベクトルと考え、
φ_iを（ ｘ_i , ｙ_i ）で表します。

すると、２つ以上の任意のベクトルの合成ベクトルにおいて、長さの２乗は必ず次の形式で表せます。

(ｘa2＋ｘb2＋…)＋２(ｘaｘb＋…)＋(ｙa2＋ｙb2＋…)＋２(ｙaｙb＋… )

このことに着目すると、合成され得るすべてのベクトルの長さの２乗の合計は以下の通りです。

ただし、i,j,k は
0≦i≦n-1 , 0≦j≦n-1 , 0≦k≦n-1 , j≠k の整数です。

ｎ個から１個を選ぶ時：

n-1Ｃ0

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)

ｎ個から２個を選ぶ時：

n-1Ｃ1

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)＋n-2Ｃ0*２

n-1 Σ j=0

n-1 Σ k=0

(ｘjｘk＋ｙjｙk)

ｎ個から３個を選ぶ時：

n-1Ｃ2

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)＋n-2Ｃ1*２

n-1 Σ j=0

n-1 Σ k=0

(ｘjｘk＋ｙjｙk)

ｎ個から４個を選ぶ時：

n-1Ｃ3

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)＋n-2Ｃ2*２

n-1 Σ j=0

n-1 Σ k=0

(ｘjｘk＋ｙjｙk)

　　　　　↓

ｎ個からｒ個を選ぶ時：

n-1Ｃr-1

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)＋n-2Ｃr-2*２

n-1 Σ j=0

n-1 Σ k=0

(ｘjｘk＋ｙjｙk)

　　　　　↓

ｎ個からｎ個を選ぶ時：

n-1Ｃn-1

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)＋n-2Ｃn-2*２

n-1 Σ j=0

n-1 Σ k=0

(ｘjｘk＋ｙjｙk)

何故なら、ｎ個から任意のｒ個を選ぶすべての合成ベクトルの長さの２乗の合計では、１つの成分の２乗の個数は、その１つは必ず選ぶので
(ｎ−１)個から(ｒ−１)個の選び方の数あり、
２つの成分の積の個数は、その２つは必ず選ぶので
(ｎ−２)個から(ｒ−２)個の選び方の数ある筈です。

これらをすべて加えた合計は

２n-1

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)＋２n-2*２

n-1 Σ j=0

n-1 Σ k=0

(ｘjｘk＋ｙjｙk)

＝２n-1

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2) ＋ ２n-2{２

n-1 Σ j=0

n-1 Σ k=0

(ｘjｘk＋ｙjｙk)＋

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)−

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)}

＝２n-1

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2)＋２n-2[ {

n-1 Σ i=0

(ｘi2)＋２

n-1 Σ j=0

n-1 Σ k=0

(ｘjｘk)}＋{

n-1 Σ i=0

(ｙi2)＋２

n-1 Σ j=0

n-1 Σ k=0

(ｙjｙk)}−

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2) ]

＝２n-1

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2) ＋ ２n-2{ (

n-1 Σ i=0

ｘi)2 ＋ (

n-1 Σ i=0

ｙi)2 −

n-1 Σ i=0

(ｘi2＋ｙi2) }

定義より

ｘi2＋ｙi2＝｜φi｜2＝

１ ｎ

また，

n-1 Σ i=0

φi＝０ から

n-1 Σ i=0

ｘi＝０ ,

n-1 Σ i=0

ｙi＝０

ですから、上の式は

２n-1*ｎ*

１ ｎ

−２n-2*ｎ*

１ ｎ

＝２n-1−２n-2

＝２n-2

一方，考えられるすべてのベクトルの組合せの数は ２ⁿ

よって，

求める期待値

＝

２n-2 ２n

＝

１ ２2

＝

１ ４

◆出題者のコメント。

最後の答えは一つでも、そこに至る道がいくつもあるところが数学の面白いところです。
お二人の解答は、全然違うのですが、「２ⁿ通りありき」から始まっている点では同じです。
今度は「２ⁿ」が明示的に現れない解答を、考えてください。
むしろ簡単です。

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答。

E[E[X|Y₁ Y₂...Y_k]]=E[X] (証明省略)より
Y_i=φ_iの個数(0か１)

X=|Y₁+Y₂+...+Y_n|² ,
Z_j=Y₁+Y₂+...+Y_j ,
Φ_j=φ₁+φ₂+...+φ_j とすると

　E[|W|²]
＝E[X]
＝E[E[X|Y_n]]

＝

1 2

E[|Zn-1|2]+

1 2

E[|Zn-1+φn|2]

＝

1 2

|φn|2+φn・E[Zn-1]+E[|Zn-1|2]

E[Zn-1]＝

1 2

Φn-1より

　E[|W|²]

＝

1 2

|φn|2+

1 2

φn・ Φn-1+E[|Zn-1|2]

＝

1 2

|φn|2+

1 2

|φn-1|2+

1 2

φn・Φn-1+

1 2

φn-1・Φn-2+E[|Zn-2|2]

＝

1 2

(

n Σ i=1

|φi|2)+

1 2

n Σ i=2

φi・Φi-1

n Σ i=2

φi・Φi-1

＝

1 2

(|

n Σ i=1

φi

|2-

n Σ i=1

|φi|2

)

より

　E[|W|²]

＝

1 4

|

n Σ i=1

φi|2

+

1 4

(

n Σ i=1

|φi|2

)

＝

1 4

a2+

1 4

(

n Σ i=1

|φi|2

)

＝

1 4

◆東京都　はにゃん さんからの解答。

φ[i]，|φ[i]|²，φ[i]・φ[j]の期待値は，それぞれ

E[φ[i]]

＝

1 2

*φ[i]+

1 2

*0

＝

1 2

*φ[i]

E[|φ[i]|²]

＝

1 2

*φ[i]+

1 2

*0

＝

1 2

*|φ[i]|2

E[φ[i]・φ[j]]

＝E[φ[i]]・E[φ[j]] （←φ(i)とφ(j)は独立）

＝

1 4

*φ[i]・φ[j] (i≠j)となる．これより，

E[|W|²]

＝E

[|

Σ i

φ[i]

|2

]

＝E

[

Σ i

|φ[i]|2

]

+E

[

Σ i≠j

φ[i]・φ[j]

]

＝

Σ i

E[|φ[i]|2]+

Σ i≠j

E[φ[i]・φ[j]]

＝

1 2

Σ i

|φ[i]|2+

1 4

*

Σ i≠j

φ[i]・φ[j]

＝

1 4

Σ i

|φ[i]|2+

1 4

*

|

Σ i

φ[i]

|2

＝

1 4

*1+

1 4

*0

＝

1 4

◆愛知県　juin さんからの解答。

W=ΣN(i)φ(i) (i=0..n-1),

P(N(i)=1)=

1 2

, P(N(i)=0)=

1 2

と書ける。

Pは、Ω={0,1}ⁿの個数に比例した確率である。
内積を使えば|W|²=(W,W)となる。

E|W|²
=E(W,W)
=E((ΣN(i)φ(i),ΣN(i)φ(i))
=E(ΣΣN(i)N(j)(φ(i),φ(j))
=EΣ(N(l)²)|φ(i)|²+EΣN(i)N(j)(φ(i),φ(j))
=Σ(EN(i)²)|φ(i)|²+ΣEN(i)N(j)(φ(i),φ(j))となる。

第２項は(i,j)でi≠jとなる場合の和である。

ここで、

EN(i)2=1×

1 2

+0×

1 2

=

1 2

,

EN(i)N(j)=EN(i)EN(j)=

1 2

×

1 2

=

1 4

である。

よって、

Σ(EN(i)2)|φ(i)|2=Σ

1 2

×

1 n

=

1 2

ΣEN(i)N(j)(φ(i),φ(j))=

1 4

Σ(φ(i),φ(j))となる。(i≠j)

(i≠j)でのΣ(φ(i),φ(j))=Σ(φ(i),Σφ(j))

ここで、j(j≠i)について和をとり、その後i=0..n-1について足す。

=Σ(φ(i),-φ(i))=-Σ|φ(i)|²=-1となる。

だから

E|W|2=

1 2

+

1 4

*(-1)=

1 4

となる。

◆出題者のコメント。

解答ありがとうございます。
若干一般的にした、『ホワイトノイズpart2』の解答のコメント#1と比較下さい。

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