『リ−グ戦Part2』解答

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題１】

（３，２，１，０），（３，１，１，１），
（２，２，２，０），（２，２，１，１）

答え　４通り。
　２×２＋１−１＝４

【問題２】

（４，３，２，１，０），（４，３，１，１，１），
（４，２，２，２，０），（４，２，２，１，１），
（３，３，３，１，０），（３，３，２，２，０），
（３，３，２，１，１），（３，２，２，２，１），
（２，２，２，２，２）

答え　９通り。
　２×４＋２−１＝９

【問題３】

答え　２１通り。
　２×９＋４−１＝２１

【問題４】

答え　５０通り。
　２×２１＋９−１＝５０

【問題５】

Ｎチームのとき、Ａ(Ｎ)とする。
Ａ(Ｎ)＝２×Ａ(Ｎ−１)＋Ａ(Ｎ−２)−１

以上のことが予想されます。　

【コメント】

　問題１、２までは正解です。
問題３は２２通り、問題４は５９通りあります。

Ａ(Ｎ)＝２×Ａ(Ｎ−１)−Ａ(Ｎ−２)＋Ｆ（Ｎ）の関係が成り立つようです。
ここでＦ（Ｎ）は、Ｎチームのリーグ戦で、全勝や全敗がいない場合の総数です。
Ｆ（Ｎ）が分かればＡ（Ｎ）は求められます。

この問題は、『果物の分配』に次の３つの条件を付け加えたものです。

1. 勝数（試合数）は最大ｎ−１

2. 全敗は１チームしかない。
   　それ以外のｎ−１チームについても同様のことが成り立つ。
   　つまり（・・・，１，１，０）や 　（・・・２，２，１，０）はありえない

3. 全勝は１チームしかない。
   　それ以外のｎ−１チームについても同様のことが成り立つ。
   　つまり（ｎ−１，ｎ−２，ｎ−２・・・）や 　（ｎ−１，ｎ−２，ｎ−３，ｎ−３・・・）はありえない

『果物の分配』の答えを考慮すれば、Ｆ（Ｎ）にある程度は迫れると思います。
私も考えているのですが、漸化式を求めるのは容易ではないです。

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