『空洞美術館定理』

『空洞美術館定理』解答

◆宮城県　甘泉法師　さんからの解答。

【問題２の答え】

カメラの数が与式通りである例

図形穴その個数式の値

３角形３角形１
[ 6+3-1
3 ]=[ 8
3 ]=2

３角形３角形２
[ 9+3-2
3 ]=[ 10
3 ]=3

３角形５角形１
[ 8+3-1
3 ]=[ 10
3 ]=3

十分なカメラの数が与式より少ない例

図形穴その個数式の値十分なカメラの数

３角形４角形１
[ 7+3-1
3 ]=[ 9
3 ]=3
２

４角形３角形１
[ 7+3-1
3 ]=[ 9
3 ]=3
２

【問題１へのコメント】

題意よりゆるい十分条件を証明します。

穴が一つの場合、穴の多角形頂点と外周頂点をむすぶカットをいれて、
穴の無い（ｎ＋２）角形と考える。

「防犯カメラの問題」から十分なカメラの台数は[ ｎ＋２
３ ]。

穴が複数ｍある場合も穴ごとにひとつカットを入れ、外周頂点、外周とカットで結ばれる穴、この穴とカットで結ばれる別の穴等々と結べば　
穴のない（ｎ＋２ｍ）角形とみなせる。

十分なカメラの台数は[ ｎ＋２ｍ
３ ]。

問題１の命題より（ｍ－１）大きい、ゆるい十分条件です。

◆東京都　みかんのパパ　さんからのコメント。

正確な台数は[ ｎ＋ｍ
３ ]です。
たとえば、mathworld の Art Gallery Theorem の記事と文献を見てください。
証明も、最大数必要な例も、（空洞の無い）美術館定理の証明に比べると格段に込み入ってきます。