◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
分母Ｍを素因数分解する。
○予想
１）有限小数になる場合 ２または５の素因数のみで分母が構成されるとき。
２）純循環小数になる場合 ２または５以外の素因数で構成されるとき。
３）混循環小数になる場合 ２または５とそれ以外の素因数で構成されるとき。
【問題２】
分母Ｍを素因数分解する。
Ｍ＝２r×５s。
ｒ≧０，ｓ≧０。（ｒ＝ｓ＝０は含まない）
○予想
ｒ≧ｑ のとき ｒ桁。
ｑ≧ｒ のとき ｑ桁。
【コメント】
問題１，２とも予想されたとおりのことが成り立ちます。
証明は書こうと思うと結構大変です。
問題１の結果を仮定すると、問題２，３とも比較的簡単に証明できます。
（特に問題２）
◆石川県 Takashiさんからの解答。
【１】
有限小数ａの最小桁を小数点以下ｂ位、ａ×１０b＝ｃとするとｃは整数になる。
(ａの小数点を消したとき出来る整数になる。)
| ａ＝ | ｃ ―――― １０b | 【ｃは整数】 |
この分数に分母を素因数分解すると２と５だけの素因数で構成されている事がわかる。
逆に分母に２と５以外の素因数があるとき、その分数は上の分数のように表現できない。
【２】
ある既約分数ｎ／ｍ【ｎは整数,ｍは自然数,ｎとｍは互いに素】が有限小数であるとき、
ｍ＝２s×５tと表す事が出来る。
(１)ｓ＞ｔのとき
分数の分母と分子に５s-tをかけると
| ｎ ―――― ｍ | ＝ | ｎ・５s-t ――――――― １０s |
ｎとｍは互いに素なのでｎの素因数には２と５は含まれていない。
よって小数点以下ｓ位の有限小数になります。
(２)ｓ＜ｔのとき
同様に、
| ｎ ―――― ｍ | ＝ | ｎ・２t-s ――――――― １０t |
小数点以下ｔ位の有限小数になります。
(３)ｓ＝ｔのとき
| ｎ ―――― ｍ | ＝ | ｎ ――――― １０s |
小数点以下ｓ位の有限小数になります。
【解答】分母を素因数分解して２s・５tと表現したときのｓとｔの大きいほうの桁数になる。
◆神奈川県 Sparking さんからの解答。
【おまけ】
オイラーの関数のおまけの解答を導けば簡単。
ここでは使わせてもらいます．
つまりＢに一切２，５が含まれないとき
１０φ(Ｂ)≡１ （ｍｏｄ．Ｂ）
⇔Ａ／Ｂは最低φ(Ｂ)桁で循環する。
今、φ(Ｂ)の約数以外のｉが循環節の長さ、
つまりｉ未満では１０ｘ≡１ (ｍｏｄ．Ｂ）を満たすものが無いとする。
このときｋｉ＜φ(Ｂ)＜（ｋ＋１）ｉとなるｋがとれて
あとはｉ、φ(ｂ)桁ずつ同じ文字が来るなら必ず
（φ(Ｂ)−ｋｉ）桁 （＜ｉ）ずつ同じ文字がきていて、仮定に反することを言えばいい。
【問題３】
分数が純循環小数ならばその循環節の長さは分母Ｂとして最小のｘ
｛１０ｘ≡１ (ｍｏｄ．Ｂ)}である。
(証)いま最低ｘ桁で循環するということを（それより短く循環しているかもしれないが）とにかく小数点以下のｘ桁ずつのとびとびの数字がすべて等しいこととする。
（最低より最高といったほうがいいかもしれないが…）
ここでとりあえず、
【定理１】（１０ｘ≡１（ｍｏｄ．Ｂ）⇔最低ｘ桁で循環する）を示す。
今ｘ桁で循環するということは小数点以下の数字について、
ｙ桁目＝ｙ＋ｘ桁目がすべてのｙについて完全にいえるということである。
これはこの小数と、この小数の小数点を右へｘずらしたものの小数部分が完全に一致することと同値である。
（証）
１０g≡１ （ｍｏｄ．Ｂ以下省略） ⇔１０g−１≡０ ⇔∃ｘ（１０g−１＝ｘＢ） ⇔∃ｘ（（１０g−１）／Ｂ＝ｘ） ⇔（１０g−１）／Ｂ∈Ｚ ⇔Ａ・（１０g−１）／Ｂ＝（Ａ／Ｂ×１０g−Ａ／Ｂ）∈Ｚ ⇔Ａ／Ｂの小数表示はその小数点を右にg動かした小数と小数部分が完全に一致する。 ⇔Ａ／Ｂは最低gけたで循環する。（勿論純循環小数である。）いま循環節の長さというのは初めて循環する循環の周期だから
ここでｈ桁より短い周期で循環しているとすると上の定理よりｈより小さいｘが存在することになり矛盾。
よって背理法より周期ｈで初めて循環する。
【問題４】
簡略に書かしてもらう。
Ｂ＝２n1・３n2・５n3・… と素因数分解しておく
（n12＋n32≠０）
循環しない桁数：max（n1，n3）
循環節の長さ：最低のｘ｜１０ｘ≡１ (ｍｏｄ．Ｂ／（２n1・５n3））と推測できる。
要は
Ａ／Ｂ＝Ｃ／（２n1・５n3）＋Ｄ／（Ｂ／（２n1・５n3））と分解できることを言えばよい。
より一般的にＸ，Ｙが互いに素の時
Ａ／ＸＹ＝Ｂ／Ｘ＋Ｃ／Ｙ となるＢ，Ｃがあるといえばいい。
（Ｘ，Ｙ，Ａ自然数、Ｂ，Ｃ整数）
いまＸ，Ｙの最大公約数１は互いから互いの自然数倍を引くことの繰り返しで求まる。
（ユークリッドの互除法）
これによりＥＸ＋ＦＹ＝１ と書けることが保証できる。
この両辺にＡ／ＸＹをかけることで言える。
これにより
Ａ／Ｂ＝Ｃ／（２n1・５n3）＋Ｄ／（Ｂ／（２n1・５n3））とかける。
あとは循環を狂わせている第一項の影響が切れたときから循環が始まり、その後には(節の長さを含め)影響しないことを小数表示を用いて言えば示すことができる。