清川さんの答は正解ですが、解答は最初から双子がいる前提のように見えます。
（もうひとつほじくれば、３６＝１×１×３６がヌケています）
それにしても３次方程式がでてくるのはすごい。
自然数という条件をなくして、まいとみいが３歳７ヶ月くらい
（１＋
歳）でも成立したらおもしろかったですね。◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
高岡さんが、３人の娘さんの年齢がそれぞれ違い、かつ１歳の娘さんがいない事を知っているとすれば、わかったと思います。
１）青木さん３０歳。あいちゃん５歳。まいちゃん３歳。みいちゃん２歳。
２）青木さん３６歳。あいちゃん６歳。まいちゃん３歳。みいちゃん２歳。
高岡さんは自分の年齢から青木さんの年齢がわかるので１）の場合か２）の場合か判断できます。
２）の場合だと高岡さんと私は同い年と言うことになります。丑年（？）。
【出題者のeikiさんのコメント】
高岡さんは、「３人の娘さんの年齢がそれぞれ違い、かつ１歳の娘さんがいない事」のような条件は一切知りません。
手がかりはすべて会話の中にあります。
また、もし高岡さんが上の条件を知っていたとしたら青木さんの年齢がわかった時点でそれぞれの年齢がわかったはず．．．。
後半の会話の意味を考えて再挑戦してください。
◆東京都 goya さんからの解答。
【答え】
”あい”ちゃんが９才で
”まい”ちゃんと”みい”ちゃんは２才の双子
会話の前半部分の「３人の年齢をかけると３０代」と判っても、その数が分かる(青木さんのひとまわり上)高岡さんに答えが分からないことから、青木氏の年齢は３つの約数に分解する方法が複数ある数です。
また、「３人の年齢をたすと、高岡さんの一番上のお子さんの年齢と同じ」のヒントでも足した数を知っている高岡さんが解らないので、足す方法が複数ある数でもあります。
これらを満たすのは青木さんの年齢が３６才、高岡さんの一番上のお子さんの年齢は１３才で
”あい”、”まい”、”みい”の年齢は
６，６，１ か ９，２，２ 才のいずれかです。
最後のヒントで
”あい”は”まい”、”みい”より、年齢が上なので９，２，２ 才となります。
【コメント】
なるほど、この問題は「わからない」ということが条件になっているのですね。
今度は正解だと思うのですが、出題者の方どうでしょう。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
青木さんと高岡さんの会話の内容だけで確かに３人の娘さんの年齢がわかったとすれば、３人の中に双子がいることがポイントになりますね。
ピアノの件で「あいちゃん」が長女であることがわかります。
「まいとみいはもうすこし早くから習わせたい」との発言があることから。
１）青木さん３６歳のとき、（９，２，２）、（６，６，１）、（４，３，３）の場合があります。
（６，６，１）の場合は２人の会話から矛盾します。
あいちゃん４歳、まいちゃん３歳、みいちゃん３歳の場合は４歳になるまでに、習い始めれば矛盾しません。
しかしこのとき高岡さんの長女は１０歳。
このことは高岡さんはわかっています。
青木さんの年齢もわかっています。
２Ｘ＋Ｙ＝１０。Ｘ×Ｘ×Ｙ＝３６。
Ｘ、Ｙ自然数。
Ｘ3−５Ｘ2＋１８＝０。
（Ｘ−３）（Ｘ2−２Ｘ−６）＝０。
Ｘ＝３、Ｙ＝４。
高岡さんの長女が１０歳のときは（４，３，３）の１通りしかないので、高岡さんはピアノの話になる前にわかってしまう。
長女が１３歳のときは、（９，２，２，）、（６，６，１）の２通りあるのでわからなかったことになる。
２）青木さんが３２歳のとき、（８，２，２）、（４，４，２）の場合がありますが、前者のとき高岡さんの長女は１２歳、後者の場合１０歳、いずれにしても１通りなのでピアノの話になる前にわかってしまう。
１）、２）から高岡さんは４８歳、長女１３歳、青木さんは３６歳とわかっても、（９，２，２）か（６，６，１）かはピアノの話になるまで決めかねていたことになり、あいちゃんが長女で双子 でないことがわかり初めて確定されたことになります。
あいちゃん９歳、まいちゃん２歳、みいちゃん２歳。
三姉妹のなかに双子がいるためになかなか確定することができなかったが、逆にそのためにピアノの話でわかるとというおもしろい問題だったのですね。
【出題者のeikiさんのコメント】
流石にみなさん優秀ですね。あっさり解かれてしまいましたか。
清川さんの答は正解ですが、解答は最初から双子がいる前提のように見えます。
（もうひとつほじくれば、３６＝１×１×３６がヌケています）
それにしても３次方程式がでてくるのはすごい。
自然数という条件をなくして、まいとみいが３歳７ヶ月くらい
（１＋歳）でも成立したらおもしろかったですね。
◆福井県 かおる さんからの解答。
答えは、『あいが９歳』『まいが２歳』『みいが２歳』です。
高岡さんからは、青木さんの年がわかっている。
だから、もし青木さんが「３０歳」だとしたら、子供の年は
１．２．１５＝１８歳
１．３．１０＝１４歳
２．３．５＝１０歳
もし青木さんが「３２歳」だとしたら、子供の年は
１．４．８＝１３歳
２．４．４＝１０歳
２．２．８＝１２歳
もし青木さんが「３６歳」だとしたら、子供の年は
１．６．６＝１３歳
２．２．９＝１３歳
１．４．９＝１４歳
２．３．６＝１１歳
あいまいみい３人をたしたら高岡さんの子供の年になるというのを高岡さんは知っているのに、ピアノの話を聞くまで高岡さんは、３人の年は、 『わからない』と、言っているので答えは２通り以上あることが分かる。
だから、青木さんは「３６歳」で、子供の年は１．６．６＝１３歳か、２．２．９＝１３歳と、いうことが分かります。
(３０歳、３２歳、３６歳以外は素数なので不適当)
それで、ピアノの話を聞いてから『わかったぞ』と言ったので、ピアノの話を聞くとあいはまいとみいより年上だというのが分かるので、
答えは、『あいが９歳』『まいが２歳』『みいが２歳』です。
すごく難しかったです。すごく、いい問題ですね。
【出題者のeikiさんのコメント】
「すごくいい問題ですね」と誉めてもらって恐縮です。
もちろん答は合っていますが、少しヌケがあるので重箱の隅をつつきますね。
養子縁組みはないと仮定して、例えば、１・１・３１のような組み合わせは無視する、すなわち、青木さんの年齢が素数でない、と決めてかかるのはいいとしても
３０＝２・５・６や３６＝１・２・１８などがヌケています。
また３０代の奇数でも３３＝１・３・１１や３５＝１・５・７などがあり、
偶数でも３４＝１・２・１７や３８＝１・２・１９の場合を考えなければいけません。
整数問題などで約数の組み合わせを考えるときはヌケや重複がないよう、常に注意しましょうね。
◆群馬県 ken さんからの解答 ＆ 質問。
この問題の答えは、最初、あいが９歳、まいが２歳、みいが２歳だと思っていました。
できたときは、本当に感動しました。
高岡さんの「そうか、、、。それでもわからないよ」という何気ない一言に意味があったのです。
分からないことから分かるっていうこともあるのですね。
また、この問題は自分の立場で考えては難しいと思います。
高岡さんの立場に立ち、考えてみるとわかりやすいものです。
つまり、相手の気持ちになって考えるということを学びました。
同じ職場の人にも、配ってやってもらったら、みんな夢中で取り組んでいました。
それだけ、誰もが楽しみやすく、しかも、奥が深いおもしろい問題だったと思います。
ところで、ある人から、
（４，３，３）でも（８，２，２）でもいいのでは、と言われ、考え直してみると、この答えでもいいのではないかと思いました。
高岡さんは、８行目の時点で分かっていることは、例えば、青木さんが３２歳、高岡さんの子供が１２歳ということとします。
あい まい みい
８歳 ２歳 ２歳
２歳 ２歳 ８歳
２歳 ８歳 ２歳
の３通りあるのでまだ分からないと迷っていると思うのです。
そこで青木さんから、あいが１番上というヒントを得たので、
（８，２，２）と特定できたのでした。
つまり、この問題の答えは、（あい、まい、みい）が
（９，２，２）、（４，３，３）、（８，２，２）の３通りがあるのではと思います。
もし、時間がありましたら、この辺の説明をお願いします。ｌ
【出題者のコメント】
出題者 eiki が、群馬県 ken さんの質問に対してお答えします。
痛いところを衝かれてしまいました。
そういわれれば確かにそうですね。
「わからない」という言葉の曖昧さが論理に「おとし穴」を作ってしまったようです。
２行目をもう少し明確に
青木 「えー。（年令順に）”あい”と”まい”と”みい”です」
としたほうが良かったかもしれません。
ま、日常会話とはこのように論理が甘い、誤解を招きやすいものなので、数学的、論理的表現には気をつけなくちゃ、と改めて思いました。
しかしそもそもこの手の問題は、登場人物全員がある程度以上の知性を備えていることが暗黙の了解事項となっているので、論理的思考力等の欠如による「わからない」とか、あとは適当にカンで「わかった」とかいう、現実的な（周りによくいる）人物を想定しては解けません。
要するに、この手の問題は「最も出題者の意図する答らしい答が、正解」である、というマーフィーの定理が成立すると考えるのが、楽しみ方だと思っています。
『３枚のカード』 では、そういう私も、くやしいけど、「わからない」にひっかかってしまいました。
◆山口県の中学校３年生 藤井＊花田＊木下＊清水＊浅原 さんからの解答。
女の子３人の年齢の謎はすべて解けた！！
問題文から、あい・まい・みいの３人の年齢を推測すると、次の２０通りが考えられます。
| あい | まい | みい | 青木 | 高岡 | 高岡（子） | |
| Ａ | ４ | ３ | ３ | ３６ | ４８ | １０ |
| Ｂ | ４ | ４ | ２ | ３２ | ４４ | １０ |
| Ｃ | ５ | ３ | ２ | ３０ | ４２ | １０ |
| Ｄ | ６ | ３ | ２ | ３６ | ４８ | １１ |
| Ｅ | ６ | ５ | １ | ３０ | ４２ | １２ |
| Ｆ | ６ | ６ | １ | ３６ | ４８ | １３ |
| Ｇ | ７ | ５ | １ | ３５ | ４７ | １３ |
| Ｈ | ８ | ２ | ２ | ３２ | ４４ | １２ |
| Ｉ | ８ | ４ | １ | ３２ | ４４ | １３ |
| Ｊ | ９ | ２ | ２ | ３６ | ４８ | １３ |
| Ｋ | ９ | ４ | １ | ３６ | ４８ | １４ |
| Ｌ | １０ | ３ | １ | ３０ | ４２ | １４ |
| Ｍ | １１ | ３ | １ | ３３ | ４５ | １５ |
| Ｎ | １２ | ３ | １ | ３６ | ４８ | １６ |
| Ｏ | １３ | ３ | １ | ３９ | ５１ | １７ |
| Ｐ | １５ | ２ | 1 | ３０ | ４２ | １８ |
| Ｑ | １６ | ２ | １ | ３２ | ４４ | １９ |
| Ｒ | １７ | ２ | １ | ３４ | ４６ | ２０ |
| Ｓ | １８ | ２ | １ | ３６ | ４８ | ２１ |
| Ｔ | １９ | ２ | １ | ３８ | ５０ | ２２ |
高岡さんは、自分の年齢、子供の年齢、そして青木さんの年齢も分かります。
この３人の年齢が全て一致しているのは、Fと Ｊ の２つしかありません。
もしこの２つ以外の年齢が答えなら、ピアノのヒントを聞く前に答えが分かります。
そこで、答えはこの２つのうちのどちらかと考えられます。
ピアノのヒントから３人の中で、 あい が一番年上だということが分かり、まい と みい は双子だと考えられ、答えはＪになります。
よって、あい は９歳、まい、みいは２歳だということになります。
今回は、とても難しくて途中で何度も分からなくなってしまったのですが、もしこれで答えがあってたらとてもうれしいです。（木下）
初めは、面白そうだ！と単純に考えていましたが、だんだん頭がこんがらがってしまって、頭の整理に時間がかかってしまいました。
とっても頭の運動になりました。（浅原）
かなり悩んだけど、協力したらできました。（花田、清水）
◆大阪府 ゆうっこ さんからの解答
青木 「高岡さんのひとまわり（１２才）下ですよ。まだまだ３０代です」
ここで高岡さんには青木さんの年齢がわかっています。
なのに３人の年齢が特定できないということは、青木さんの年齢は３つの自然数の積の形で２通り以上の方法で表せるということです。
（子どものうち２人が１歳だとすると、もうひとりは青木さんと同じ歳になってしまうのでそれは考えないものとします）
したがって、青木さんの年齢は３０歳、３２歳、３６歳のいずれかであることがわかります。
３０＝５×３×２ ＝６×５×１ ＝１０×３×１ ＝１５×２×１ ３２＝４×４×２ ＝８×２×２ ＝８×４×１ ＝１６×２×１ ３６＝４×３×３ ＝６×６×１ ＝９×４×１ ＝９×９×２ ＝１２×３×１ ＝１８×２×１青木 「そうですね。３人の年齢をたすと、ちょうど高岡さんの一番上のお子さんの年齢になりますよ」
ここでもまだ特定できないということは、その３つの自然数の和が２通り以上あるということになります。
上記の場合のうち、それに該当するのは、青木さんが３６歳で、３人の子どもの年齢は
１）９歳、２歳、２歳
２）６歳、６歳、１歳
のどちらかということになりました。
そこで、次のヒントです。
青木 「”あい”は今年からピアノを始めたんですが、”まい”と”みい”はもっと小さいうちから習わせようと思っているんですよ」
この一言で、
“あい”の年齢＞“まい”の年齢
“あい”の年齢＞“みい”の年齢
であることがわかるので結局
“あい”９歳、“まい”２歳、“みい”２歳
ということになります。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
あい・まい・みいの年齢をそれぞれI, My, Meとします。
また、青木さんの年齢をA、高岡さんの息子さんの年齢をTsとします。
まず、30≦I×My×Me＝A≦39 です。
青木さんの年齢を素因数分解し、可能と思われる子供３人の年齢を考えてみると・・・
青木 素因数 子供３人の年齢 ３０ １×２×３×５ 1/2/15, 1/5/6, 2/3/5 ３１ １×３１ --- ３２ １×２×２×２×２×２ 1/2/16, 1/4/8, 2/2/8, 2/4/4 ３３ １×３×１１ 1/3/11 ３４ １×２×１７ 1/2/17 ３５ １×５×７ 1/5/7 ３６ １×２×２×３×３ 1/2/18, 1/4/9, 1/3/12, 1/6/6, 2/2/9, 2/3/6, 3/3/4 ３７ １×３７ --- ３８ １×２×１９ 1/2/19 ３９ １×３×１３ 1/3/13子供２人が１歳の双子であるということはありえません。
というわけで、青木さんは31歳でも37歳でもないことがわかります。
また、「I×Me×My＝A」というヒントではまだ３人の年齢がわからないことから、子供の年齢のパターンが１通りしかないものは除外できます。
よって、青木さんの年齢は30、32、36歳のいずれかです。
次に、I+My+Me=Ts という条件を考えてみます。
青木さんの年齢と、子供３人の年齢、およびそこから考えられる高岡さんの息子さんの年齢を考えてみます。
青木 子供３人＆高岡息子の年齢 ３０ 1+2+15=18, 1+5+6=12, 2+3+5=10 ３２ 1+2+16=19, 1+4+8=13, 2+2+8=12, 2+4+4=10 ３６ 1+2+18=21, 1+4+9=14, 1+3+12=16, 1+6+6=13, 2+2+9=13,2+3+6=11, 3+3+4=10高岡さんは、青木さんの年齢と自分の息子の年齢はわかっているのですが、これでもまだ３人の年齢がわかりません。
よって、青木さんの年齢は36歳、高岡さんの息子さんは13歳であることがわかります。
３人の年齢は、６歳の双子＆１歳、または２歳の双子＆９歳。
最後の青木さんのセリフから、「上２人は同い年ではない」ことがわかります。
よって、３人の年齢は上から９歳・２歳・２歳。
また、このセリフから、９歳なのはあいちゃんで、残るまいちゃんとみいちゃんが２歳の双子であることもわかります。
◆東京都 せい さんからの解答。
(1)青木 「高岡さんのひとまわり（１２才）下ですよ。まだまだ３０代です」
まず３０〜３９の約数を求めます。
(2)青木「そうですね。３人の年齢をたすと、ちょうど高岡さんの一番上のお子さんの年齢になりますよ」
青木さんの年齢は高岡さんの子供の年齢より高くならないので、
青木さんの子供の年齢を決定するのに、二人以上１歳はないので、除外する。
そのため、残るパターンは以下のとおり。 青木さん年齢 （子供の年の組み合わせ） 高岡さんの子供の年齢
30 15 2 1 18
10 3 1 14
6 5 1 12
5 3 2 10
31 16 2 1 19
32 8 4 1 13
8 2 2 12
33 11 3 1 15
34 17 2 1 20
35 7 5 1 13
36 18 2 1 21
12 3 1 16
9 4 1 14
6 6 1 13
9 2 2 13
6 3 2 11
4 3 3 10
38 19 2 1 22
39 13 3 1 17
(3)高岡 「そうか・・・。それでもまだわからないよ」
高岡さんが自分の年齢を知っているのにも係らずわからないということで、
３１歳、３３歳、３４歳、３５歳、３８歳、３９歳が除外されます。 青木さん年齢 （子供の年の組み合わせ） 高岡さんの子供の年齢
30 15 2 1 18
10 3 1 14
6 5 1 12
5 3 2 10
32 8 4 1 13
8 2 2 12
36 18 2 1 21
12 3 1 16
9 4 1 14
6 6 1 13
9 2 2 13
6 3 2 11
4 3 3 10
(4)青木 「”あい”は今年からピアノを始めたんですが、”まい”と”みい”はもっと小さいうちから習わせようと思っ
ているんですよ」
で、ここで高岡さんはわかるわけですので、まいちゃんとみいちゃんが双子であると気づいたのではないかと。
あいちゃんが一番年が高くて、残り二人が双子であるとすると、候補は、 青木さん年齢 （子供の年の組み合わせ）
32 8 2 2
36 9 2 2
36 4 3 3
で、ここで高岡さんは答えがわかります。
ということは、候補が一つとなる、青木さん３２歳のパターンになります。
よって、回答は
あいちゃん＝９歳、まいちゃん＝２歳、みいちゃん＝２歳です。
◆石川県 ようらん さんからの解答。
マイとミイの年齢の上下を示唆するものがないのに高岡さんはマイとミイの年齢を当てれたのでマイとミイは同年齢でないと矛盾する。
よってマイとミイは同年齢である。
マイとミイが1歳だとするとアイはお父さんと同い年となり不適。
アイとマイとミイの年齢の積は30〜39より
（アイ.マイ.ミイ）＝（9.2.2）（8.2.2）（4.3.3）とわかる。
ここでそれぞれのときで本文に矛盾しないかたしかめると
（9.2.2）のとき積36和13となる。
積36和13となる3つの自然数の組み合わせは（9.2.2）（6.6.1）の2通り。
アイはマイやミイよりも年上とわかり（6.6.1）は不適。
アイが長女とわかるため（アイ.マイ.ミイ）＝（9.2.2）となる。
（8.2.2）のとき積32和12となる。
積32和12となる3つの自然数の組み合わせは（8.2.2）のみ。
アイが長女とわかるため（アイ.マイ.ミイ）＝（8.2.2）となる。
（4.3.3）のとき積36和10となる。
積36和10となる3つの自然数の組み合わせは（4.3.3）のみ。
アイが長女とわかるため（アイ.マイ.ミイ）＝（4.3.3）となる。
ありゃ？答えが3通りもあるぞぃ。おかしいなぁ
仮説(1)：3人の年齢の組み合わせがわかっても長女がだれかわかんなければ、
＞＞高岡 「そうか・・・。それでもまだわからないよ」というのはおかしくないなぁと思ったんだけど、それが間違い。
仮説(2)：そもそも本文中の
＞＞青木 「えー。”あい”と”まい”と”みい”です」というのが
アイ≧マイ≧ミイを示唆しているのは常識。
仮説(3)：実は答えが3通りある(笑)
(1)なら（アイ.マイ.ミイ）＝（9.2.2）の1通りだなぁ
(2)なら初めっからやり直さないといけないや(ToT)
アイ≧マイ≧ミイは常識として考えまふ。
高岡さんは女の子3人の年齢の積と和の値を知っても答えを1通りにできなかった。
3人の順番をわかっているんだから組み合わせがひとつに決まれば、それぞれの年齢がわかるはずなのである。
ということは3人の年齢は積と和がそれぞれ等しくなる3つの自然数の組み合わせが他に存在するということである。
またアイがマイやミイよりも年上だとわかると答えが1つに絞れるんだから、他に存在した組み合わせはアイと マイが同年齢となる組み合わせであったことがわかる。
他に存在した組み合わせを探すと、（6.6.1）（4.4.2）の2通り。
（6.6.1）と積和が等しくなる3つの自然数の組み合わせは（9.2.2）である。
（4.4.2）と積和が等しくなる3つの自然数の組み合わせは存在せず不適。
以上のことから（アイ.マイ.ミイ）＝（9.2.2）とわかる。
あ〜やっぱり9.2.2の一通りかぁ
結論；
仮説(1)or(2)のとき、あい9歳、まい2歳、みい2歳
それ以外なら、あい9歳、まい2歳、みい2歳、
もしくは、あい8歳、まい2歳、みい2歳、
もしくは、あい4歳、まい3歳、みい3歳
たぶん素直に9.2.2なんでしょうね。ひねくれててごめんね(^^;)
でも本文中に自然数ですってことわるくらい正確なら、上からあいとまいとみいです。という文章にするとか
して
あい≧まい≧みいを示唆する文章をいれてほしかった。
下から子供たちの名前を言う親だっているんじゃ
ないかなぁ・・・。
・・・屁理屈かな
総じて言えば久しぶりに数学できて楽しかったよ。ありがとう（＾＾）/