◆北海道 小西 さんからの解答。
【問題２】
△ABCの面積をS、△A'B'C'の面積をS'、△ABCの外接円の半径をR、△ABCの内接円の半径をrとする。
(1)
拙作『三角形、六角形の面積』の(2)より、
| S' = | RS 2r |
| 公式 R = | abc 4S |
, r = | 2S a + b + c |
より、 |
| S' = | abc(a + b + c) 16S |
(答) |
(2)
| △ABC △A'B'C' |
= | abc a + b + c |
を示せとあるが、 | abc a + b + c |
にはならない。 |
| S S' |
= | 16S2 abc(a + b + c) |
よって、
| S S' |
= | (-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) abc |
(答) |
まず2s6を求める。
円周角の定理より∠BAB' = ∠CAB'、∠CBC' = ∠ABC'、∠ACA' = ∠BCA'であるから、
AB'、BC'、CA'は△ABCの内心Oで交わる。
また、△AA'C'と△OA'C'について、円周角の定理より
∠AA'C' = ∠CA'C'、∠AC'A' = ∠BC'A'であり、辺A'C'が共通であるから、△AA'C' ≡ △OA'C'である。
ここで、△ABCの辺上をA→B→C→Aと辿ったときにぶつかる順に、
内側の六角形の頂点をD、E、F、G、H、Iとし、AOとA'C'の交点をMとする。
△ADMと△AIMについて、∠BAB' = ∠CAB'、△AA'C' ≡ △OA'C'よりAO ⊥ DI、辺AMは共通であるから、
△ADM ≡ △AIMとなり、DM = IMである。
上記に加えて、△AA'C' ≡ △OA'C'よりAM = OMであるから、
□ADOIは対角線が直交し、互いに他を2等分するので菱形である。
同様に□BFOE、□CHOGも菱形となり、DG、EH、FIは1点Oで交わることがわかる。
ここで、△AEH、△BGD、△CIFの面積をそれぞれSa、Sb、Scとすると、
△ADI ≡ △ODI、△BFE ≡ △OFE、△CHG ≡ △OHGであるから、
Sa + Sb + Sc = 2s6となる。
BC//EHより△ABC∽△AEHであり、BCを底辺としたときの△ABCの高さをhaとすると、
相似比はha : ha - rである。従って、
| Sa = | (ha - r)2 ha2 |
S |
| ここで、S = | aha 2 |
より | ha = | 2S a |
であるから、 |
| Sa = S - ar + | r2 4S |
a2 (途中計算省略) |
| Sb = S - br + | r2 4S |
b2 |
| Sc = S - cr + | r2 4S |
c2 |
| 2S6 = 3S - (a + b + c)r + | r2 4S |
(a2 + b2 + c2) |
| 公式 r = | 2S a + b + c |
より、 |
| 2S6 = S + | a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 |
S |
| s = S + | abc(a + b + c) 16S |
- S - | a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 |
S |
| = | abc(a + b + c) 16S |
- | a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 |
S (答) |
16S2 = (a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)
を用いれば、
| s = ( | abc (-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) |
- | a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 |
)S (答の変形例) |
【コメント】
本問(3)は拙作『三角形、六角形の面積』(3)の用意してある解答の前半を流用しました。
◆出題者のコメント。
今回の問題においてはＲ＝１故、
| R= | abc 4S |
| S S' |
= | 16S2 abc(a + b + c) |
| = | (abc)2 abc(a + b + c) |
| = | abc a + b + c |
小西さんはＲ＝１を見落とされたのでしょう。
ただ一般的にはＲはそのままで、小西さんの解の方がよりスマートでしたか。
◆神奈川県 クラテス さんからの解答。
【問題１】
次のようにして作図できる
◆出題者のコメント。
クラテスさん、早速の解答、ありがとうございました。
しばらくは解答はこないかと思っていましたが、あっさり解かれてしまいました。
脱帽です。
この問題のポイントはクラテスさんの作図４
つまり「ＯＨを１：２に内分する点をGとする。」
この点Ｇ（△ＡＢＣの重心になる）に気づくかどうかということだと思います。
私は他の問題を考えているときにたまたま知ってから、この問題を出題したのですが、本当に脱帽です。
クラテスさんは、△ＡＢＣにおいて、
「外心、重心、垂心が同一直線上にある。」
このことをご存知だったのでしょうか？
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
問題１にはシンプルな方法がありましたので解答いたします。
【問題１】
描き方
証明