◆東京都 かえる さんからの解答。
求める場合の数 ＝○をＮ個並べ、○と○の間の（Ｎ−１）個の間に「＞」または「＝」を入れる場合の数 ＝２N-1通り・・・【答】
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
先着順に同着の人数をそれぞれ表すと、自然数Ｎを順番も考慮して自然数の和に表す方法と一緒。
ところで、自然数Ｎを自然数の和（順番も考慮する）に表す方法の数は、１歩でＮ段まで上れる人がＮ段の階段を上るときの上り方の数と一緒。
（なぜなら、各１歩で上った段数の合計がＮ段になるので明らか。）
すると、このときＮ段目は必ず踏むので、踏むか踏まないかの２通りを選択できるのは、
１段目〜(Ｎー１)段目の(Ｎー１)箇所。
よって、求める「決着の付き方」は ２N-1通り。
【Ｐ・Ｓ】
人を区別すると『同順を許す並び方の数は？』になりますね。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【解答】 ２Ｎ−１
一列に並んだＮ人の手のつなぎ方と同じです。つなぐ個所はＮ−１で各２通りです。
なお、人を区別する場合は既に出題されています。
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◆出題者のコメント。
皆さん、ありがとうございます。
自分では、串団子を切り分けるイメージで証明を考えたのですが、
かえるさんの不等号、Footmarkさんの階段、Y.M.Ojisanさんの手の繋ぎ方と、
人によって、いろいろなイメージがあるのが、面白かったです。
類題については、気が付いていませんでした。
こちらの問題は、かなり難しいですね。