中央の包絡線で囲まれた３葉形の部分でも、２分割線は３回通過するだけである。
下図に３葉形の部分内部の詳細を示す。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
必ずしも正しくない。
正三角形は反例である。
中央の包絡線で囲まれた３葉形の部分でも、２分割線は３回通過するだけである。
下図に３葉形の部分内部の詳細を示す。
【問題２】
１個 または 実数のオーダーで無限個
証明
明らかに円は１点である。
また問題１に示したように三角形では無限個であり存在する。
補題：
２分割直線の角度：θを定めると２分割直線は唯一定まる。
証明略
本題：
仮に２個以上有限個であるとする。
そのうちの異なる２点をＡ，Ｂとする。
Ａ，Ｂを通る直線は唯一であるから、Ａ，Ｂを両方通過する２分割直線は高々１本である。
従って、残り２本へ移動するために、Ａを通過している２分割直線はある角度θ１で一旦Ａを離れ、再びＡを通過する別の２分割直線に ある角度θ２で戻ってこなければならない。
また、残されたＡを通過するもう一本の２分割直線の角度：θ３は、
θ２とθ１＋πの間である。
Ａの近傍での２分割直線のずれ方として、下図に示すＴｙｐｅ１とＴｙｐｅ２が考えられる。
〇 Ｔｙｐｅ１では、下図に示す黄色の２次元領域が点Ａの近傍に存在し、ここではθ１とθ２に近い２本の２分割直線と角度θ３の２分割直線が通過しており、無限個のＴの点が存在する。
〇 Ｔｙｐｅ２では、θ１からθ２に移動する再に下図緑線で示すようにＡの付近を通過しなければならず、同様に無限個のＴの点が存在する。
よって、２個あればかならず無限個あるので、２個以上で有限個とはならない。
Ｔｙｐｅ１
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丁度３本と言う意図ではないと捉えました。
【考察問題】
Ｓの異なる４本以上の線が交わる点の集合をＱとする。
集合Ｑの要素の個数として考えられる数値を答えよ。
解答
０個、任意有限個、可算無限個、実数オーダーで無限個
（１）問題１に示したように０個の場合がある。
（２）円は１個の場合の例である。
（３）正５角形では中央に包絡線で囲まれた２種の５葉の図形ができるが、内側の図形を２分割線は５回通る。従って、Ｑが実数オーダーで無限個存在する例である。
下図は誇張した図である。
（４）次のような部品を考える
「定義」：ＡＢ＝ＤＥ、ＡＤ＝ＢＥ、ＢＣ＝ＥＦ、ＡＢ//ＢＣ//ＥＦ
「性質」：ＡＬ＝ＬＤ，ＢＭ＝ＭＥ、ＣＭ＝ＭＦ
ここで図形ＬＭＨはＡＤ、ＢＥが２分割直線であるとき、２分割直線の端点がＡ→Ｂに移動する間に２分割直線が掃引する領域で、２分割直線が２回通過する領域である。
一方、図形ＡＢＣＧＤＥＦＭＨＬは境界を除き除き、端点がＡ→Ｃに移動する間に２分割直線が１回通過する領域である。
また点Ｍは端点がＢ→Ｃに移動する間に∞回２分割直線が通過する点であって、既にＱの要素である。
また、２分割直線の包絡線という条件から前記の「性質」が導かれる。
この部品を実際はＡＢ、ＢＣ長を図示よりかなり短くし、左右対称に積み重ねて行くことにより、任意個のＱの点を持つ図形を作ることができる。
奇数個の場合は、ＦＣのラインを左右対称の中央のラインとして始めればよい。
点Ｍが重なるので奇数個になる。
偶数個の場合は、ＡＤのラインを左右対称の中央のラインとして始めればよい。
可算無限個の場合は、ＡＢＣ長さの数列の無限和が収束するようにとればよい。
積み上げて行く場合下図（実際にはもっと薄い部品を使うので回転角度は小さい）に示すような、黄色、緑の領域がオーバーラップするが、図に示されるように、精々２回までであり、Ｔの要素となることはない。
さらに、左右対称に重ねることにより 図形ＬＭＨや積み上げでできた２回通過の領域には、鏡像側からもう一本の２分割直線が通過する可能性があるが、最大でもＴの要素となるだけである。
従って、Ｑの要素となるのは点Ｍだけである。
最終的に得られる図形は『凸図形の面積、周の二等分』解答 の加算無限個のコメントの図とほぼ同じであり、下に示す完成前図（中央部は拡大誇張している）のようになる。
最後に残った部分の分割線を掃引すると、中央部に３葉形をしたＴの要素の集合があって、その周上に有限個ないし可算無限個のＱの要素が並んでいる図が得られる。
２段積み
