◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
操作１．一番上のカードを、たばの一番下に移します。
を行った時点で、一番上のカードから順に１，２，３・・・と番号をふります。
（最初の状態と番号が１ずつずれるのに注意して下さい）
まず、カードの枚数が、２の累乗（１，２，４，８，１６，３２など）の時を考えます。
例えば３２枚とします。
まず、１，３，５・・・３１のカードが除かれ、「２の倍数」のカードが残ります。
次に、２，６，１０・・・３０のカードが除かれ、「４の倍数」のカードが残ります。
次は、「８の倍数」「１６の倍数」というふうに残り、最後は３２の番号をつけたカード（操作１．の前に一番上にあったカード）が残ります。
カードの枚数が２の累乗でないときは、カードを何枚か除いて、２の累乗になった時を考えます。
例えば、枚数が５２枚とすると、１，３，・・・３９の２０枚を除いた時を考えます。
次に除くのは４１のカードですから、このカードを１として、３２まで番号を振り直すと、３２の番号をつけた（もともと４０をつけた）カードが最後に残ります。
つまり、操作１．の前で４１枚目にあったカードです。
つまり、
((カードの枚数)−(カードの枚数以下の２の累乗数))×２＋１ 番目のカードが、最後に残ります。
【問題１】
((カードの枚数）−（カードの枚数以下の２の累乗数））×２＋１＝１
ですから、カードの枚数が、２の累乗であれば良い。
【問題２】
((カードの枚数)−(カードの枚数以下の２の累乗数))×２＋１＝(カードの枚数)
ですから、
(カードの枚数)＝２×(カードの枚数以下の２の累乗数)−１
より、２の累乗数より１少ない数（１，３，７，１５，３１・・・）であれば良い。
【問題３】
((カードの枚数)−(カードの枚数以下の２の累乗数))×２＋１ 番目
【問題４】
上から４番目のカードは、２手順目で除かれてしまいますので、最後に残すことは不可能です。
ちなみに、
((カードの枚数)−(カードの枚数以下の２の累乗数))×２＋１＝４
を解くと、
(カードの枚数)＝(カードの枚数以下の２の累乗数)＋１．５
となり、整数の答えは存在しません。
この問題は「算数にチャレンジ」第１１７回に類似問題があります。
【コメント】
大変わかりやすい解答をいただきまして、ありがとうございます。
私は「算数にチャレンジ」のページはほとんど見ないので、類似問題には気がつきませんでした。
たまには見ないと駄目ですね。(^_^;
ヒントに書いたとおり、「まま子立て」から連想しての出題です。
中学生向きに補足すると
カードの枚数をｎとすると、カードを入れるべき場所は、
（ｎを２進数で表し、その先頭の１を末尾に移した数）枚目になります。
問題１は、一番上のカードを２進法で表すと１ですから、
カードの枚数が二進法の１０，１００，１０００・・のとき、
つまり十進法で２，４，８・・・枚のときになります。
問題２のように、一番下のカードを残そうとすると、
カードの枚数が二進法の１１，１１１，１１１１・・のとき、
つまり十進法で３，７，１５・・・枚のときになります。
問題４のように、偶数番目のカードが残ることはありえません。
◆東京都 北村 だいし さんからのコメント。
解答ではないのですが、私はマジックが趣味なので、これにちなんだ話をします。
（一部の）マジック用語ではダウンアンダー、もしくは、アンダーダウンというこの操作を使うマジックです。
『エイトカウントトリック』という題名のマジックです。
８、数える、ということですね。
現象を説明します。
客に「これからエイトカウントトリックというマジックを行います。」と言う。
一組のトランプ（最も下の１枚、つまりボトムカードを「ハートの８」にしておく）のうち、下４分の１くらいを客に取り分けてもらう。
何枚でもいい。
取り分けた数枚のトランプの束（これをパケットと称すことにする）の最も上の１枚（トップカード）を客に覚えてもらう。
パケットの上から順番を変えずに８枚を数え、それをパケットの下に回す。
パケットをそろえ、再び上から順番を変えずに８枚を数え、それをパケットの下に回す。
その後、ダウンアンダー（１枚目をテーブル上に置く、２枚目をパケットの下に回す）をする。
その際に、テーブル上に置くトランプは、順番に重ねる。
最終的に残った１枚は、「ハートの８」である。
テーブル上のトランプの上から７枚目が先ほど客が覚えたカードである。
マジック的には、「このマジックの名前を覚えていますか？」と客に尋ね、「そうです、エイトカウントトリックです。このハートの８は、さらに８枚数えることを表しています。」と言って、ハートの８を「１枚目」と言い、順次声に出して数えていく。
このマジックの「みそ」は、最初に２回「８枚を下に回す」という部分です。
これによって、９枚から１５枚までのどんな枚数のパケットでも同じ現象を起こせます。
算数的に説明を書いておきます
（１）最初の設定
X・・・パケットの枚数。９枚から１５枚
A・・・客の覚えたカード
B・・・ハートの８
A−−−−−−−−−−Bこれが、パケットの最初の状態を表しています。
（２）最初の「８枚をパケットの下に回す」
−−BA−−−−−−−− −−B部分は、（x-8）枚。これは、8枚よりも少ない。
A−−−−−−−−部分は、8枚
（３）２度目の「８枚をパケットの下に回す」
−−−−−−−BA−−− A−−−部分は、8-(x-8)枚。
−−−−−−−B部分は、x-(8-(x-8))枚。
ゆえに、ダウンアンダーで、Bはテーブルに置かれずに、パケットの下に回される。
そして、Aは必ずテーブル上に置かれる。
（４）ダウンアンダーで、Aをテーブル上においたところ
このときは、手元のパケットのボトムカードがBになっている。
このときの手元のパケットの枚数を考える。
（３）での−−−−−−−B部分のうち、半分がテーブルに置かれ、さらに、Aもテーブルに置かれている。
よって、手元のパケット枚数は、
| x-( | 2(x-8) 2 | +1) である。 |
つまり、７枚。
（５）最後までダウンアンダーすると、Bが最後の１枚となり、テーブル上の束のうち、Bを含めて上から８枚目にAがあることがわかる。