◆東京都 かえる さんからの解答
【問題１】
ケーキの上面の円の中心をＯ、ハエの位置をＡ、Ｂ、Ｃとする。
ＯＡからＯＢに向かう角を２πｘ、ＯＡからＯＣに向かう角を２πｙとする。
ただし、０≦ｘ≦ｙ≦１。
| この領域のなす面積は | １ ２ | 。 |
ケーキの上面の半円が無事
⇔
π＜２πｘ または ２πｙ−２πｘ＞π または ２πｙ＜π
⇔
| ｘ＜ | １ ２ | または ｙ＞ｘ＋ | １ ２ | または ｙ＜ | １ ２ |
| ０≦ｘ≦ｙ≦１の領域の中で、この領域のなす面積は、 | ３ ８ |
従って、
ケーキの半円の上面が無事な確率
| ＝ | ３ ８ | ／ | １ ２ |
| ＝ | ３ ４ | ・・・【答】 |
（感想）
『１本の線分と三角形』の問題の三角形ができない確率と同じですね。
【問題２】
Ｏ（０，０）、Ａ（０，６）、Ｂ（９，６）、
Ｃ（９，０）Ｄ（４，６）、Ｅ（９，１）
とすれば、ＯＡ＋ＡＤ＝ＤＢ＋ＢＥ＝ＥＣ＋ＣＯ＝１０ より、
四角形ＯＡＤＸ＝四角形ＤＢＥＸ＝四角形ＥＣＯＸ＝１８ になるように点Ｘをとれば、線分ＯＸ、ＤＸ、ＥＸの３線分が題意を満たす例となる。
△ＯＡＤ＝１２ より △ＯＤＸ＝１８−１２＝６ ゆえ、
| 点Ｘは、直線ｙ＝ | ３ ２ | ｘ−３ 上にある。 |
△ＤＢＥ＝１２．５ より △ＤＥＸ＝１８−１２．５＝５．５ ゆえ
| 点Ｘは、直線ｙ＝−ｘ＋ | ３９ ５ | 上にある。 |
２直線の交点を求め、点Ｘ（４．３２，３．４８）
四角形ＯＡＢＣを線分ＯＸ、ＤＸ、ＥＸで分割するのが１例となる。・・・【答】
◆愛知県 迷子の雄猫 さんからの解答
【問題１】
ハエの大きさを無視して良ければ、７５％
最初の２匹のハエが止まった点をａ，ｂ、中心をＯ、点ａを通る直径と円周の交点のうち、点ａと反対側にある 点をＡ’とする。（点Ｂ’も同様）
３匹目のハエが止まってはならない領域は、扇形Ａ’ＯＢ’である。
この領域の面積は、円全体の０％（点Ａ’とＢ’が一致するとき）〜５０％（点ａ，ｂがほぼ反対側に有るとき） であるから、平均して２５％
ケーキの上面の半円が無事である確率は７５％
【問題２】
ケーキの大きさを(0,0)-(9,6)として、
(0,3)-(5,3),(5,3)-(7,0),(5,3)-(7,6)で分割する。
◆熊本県 mit さんからの解答
【問題１】
任意の２点にハエがとまった時点では、必ず何処にもハエがとまってない半円ケーキが得られる切り分け方が存在する。
ハエが止まった２点をＡ，Ｂ、円の中心Ｏとし、∠ＡＯＢ＝θとおく。
(０≦θ≦π)
ＡからＯに向かって直線を引き円周との交点をＤ、同様にＢからＯに向かって直線を引き円周との交点をＥと おく。
ここでハエが止まる３点目Ｃを決めるのだが、何処にもハエがとまってない半円ケーキが得られる切り分け方 が存在するのは半径ＯＤ、ＯＥと弧ＤＥ(小さい方)でできる扇形の外部にハエが止まったときである。
したがって∠ＡＯＢ＝θのとき、どこにもハエが止まっていない半円ケーキが得られる切り分け方が存在しな い確率は
| θ ２π |
となる。 |
θが取りうる値は０からπまで同様に確からしいので求める確率は
| １− |
２π・π | ＝ | ３ ４ |
意外と大きいですね。
頭の中でイメージした感じでは無事でない確率の方が大きいように思えたので、結果は予想外でした。
◆出題者のコメント
かえるさん、迷子の雄猫さん、mitさん、解答ありがとうございます。
【問題１】【問題２】のいずれも正解です。
【問題２】の解答は、出題者としては一般形にも応用できる かえるさん が示されたような分割方法を期待してました。
まさか、迷子の雄猫 さん が示されたような単純明快な分割方法があるとは気付きませんでした。
（図らずも、４線分による分割の例がヒントになったのかな？）
あまりにも簡単に解かれてしまったので、【問題１】を発展させた問題を追加します。
◆東京都 かえる さんからの解答
【問題１−Ａ】
ケーキの上面の円の中心をＯ、ハエの位置をＸ（１）、Ｘ（２）、・・・Ｘ（ｎ）とする。
ＯＸ（１）からＯＸ（２）に向かう角を２πｘ（２）、・・・
ＯＸ（１）からＯＸ（ｎ）に向かう角を２πｘ（ｎ）とする。
ただし、０≦ｘ（２）≦・・・≦ｘ（ｎ）≦１。
| この領域のなす体積は | １ （ｎ−１）！ |
。 |
ケーキの上面の半円が無事
⇔
π＜２πｘ（２） または ２πｘ（３）−２πｘ（２）＞π または
・・・
または ２πｘ（ｎ）−２πｘ
（ｎ−１）＞π または ２πｘ（ｎ）＜π
⇔
| ｘ（２）＜ | １ ２ |
または ｘ（３）−ｘ（２）＞ | １ ２ |
または |
| または ｘ（ｎ）−ｘ（ｎ−１）＞ | １ ２ |
または ｘ（ｎ）＜ | １ ２ |
０≦ｘ（２）≦・・・≦ｘ（ｎ）≦１の領域の中で、
| この領域のなす体積は、 | ｎ ２n-1・（ｎ−１）！ |
。 |
従って、
ケーキの半円の上面が無事な確率
| ＝ | ｎ ２n-1・（ｎ−１）！ |
／ | １ （ｎ−１）！ | ＝ | ｎ ２n-1 | ・・・【答】 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１−Ｂ】
| 答え | ｎ2−ｎ＋２ ２n |
問題１−Ａは次のようにも考えられます。
半円上（角のみ考慮）の点集合の最小領域をＵとすると、
Ｕの両端の２点はnＣ2通りあり、かつ排他的です。
| 円の周長を１とし、Ｕの長さをＬとするとき、Ｌ＝０〜 | １ ２ | に対して |
従って、無事な確率Ｅは
| Ｅ＝nＣ2 | 1/2 ∫ 0 | Ln-2f(L) dL＝ | ｎ ２n-1 | です。 |
問題１−Ｂも同様に考えられます。
球面は全表面積が１であるとします。Ｕとして今度は円を考え、パラメータは球上での面積Ａとします。
この円Ｕを規定する場合として次の２ケースがあります。
（１）２点がＵの直径になっている
（２）３点で円Ｕが規定され、かつその３点は鋭角三角形の頂点である。
さらに点の選び方で（１）にはnＣ2、（２）にはnＣ3ケースありますが、全て重複はありません。
従って、（１）（２）それぞれの確率を f2(A),f3(A)とすれば
| Ｅ＝nＣ2 | 1/2 ∫ 0 | Ａn-2f２(Ａ) dＡ＋nＣ3 | 1/2 ∫ 0 | Ａn-3f３(Ａ) dＡ |
で計算できます。
＜ｆ２＞
２点のうち１点を北極とし、他点を
| 緯度 | π ２ | −２θ（θ＝０〜 | π ２ | ）にあるとします。 |
| このときＡ＝ | １−cos(θ) ２ | です。 |
また、その確率はθあたりでsin(２θ) です。
従って、f２(Ａ)dA＝2sin（θ）cos(θ)dθ=4(1-2A)dA
| nＣ2 | 1/2 ∫ 0 | Ａn-2f２(Ａ) dＡ＝nＣ2 | 1/2 ∫ 0 | 4Ａn-2(1-2A) dＡ＝ | １ ２n-2 |
＜ｆ３＞
| Ｕの中心を北極とし、他３点を緯度 | π ２ | −２（θ＝０〜 | π ２ | ）にあるとします。 |
| このときＡ＝ | １−cos(θ) ２ | です。 |
| また、３点がその緯度にある確率はθあたりで | ３sin3(θ) ２ | です。 |
| さらに、球面上の３点が鋭角３角形になる確率はその一様に | １ ２ | です。 |
| （∵ | π/2 ∫ 0 | sin(2φ)ｄφ＝１ 、 | π/2 ∫ 0 | φsin(2φ)ｄφ＝ | １ ２ | ) |
従って、
| f３(Ａ)dA＝ | ３sin3（θ）dθ ４ |
＝ | ３（１−(1-2A)2）dA ４ |
＝６Ａ（１−Ａ）ｄＡ |
| nＣ3 | 1/2 ∫ 0 | Ａn-3f３(Ａ) dＡ＝nＣ3 | 1/2 ∫ 0 | ６Ａn-2(1-A) dＡ＝ | (ｎ−２)(ｎ＋１) ２n |
| 以上まとめると Ｅ＝ | ｎ2−ｎ＋２ ２n |
【ＰＳ】
| １−Ａは | nＣ1 ２n-1 | と表記でき、 |
| １−Ｂは | nＣ0＋nＣ2 ２n-1 | と表記でき、 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１−Ａ】
無事な場合、点の存在する区間の左端の点：ハエは排他的にＮとおりあり、
残りＮ−１点がその区間に入る確率は２1-Nであるので、
| NＣ1 ２N-1 | が得られる。 |
【問題１−Ｂ】
点間を結ぶ大圏コースの線分は、NＣ2通りあるが、これらは赤道と全く交わらない場合と交わる場合の２ケースがある。
交わらない場合は、北半球か南半球に点が全部ある場合であって無事な場合であり、
その確率は２*２-Nである。
交わる場合は赤道上に交点が幾つか存在するが、１−Ａ同様一番左端の交点を排他的に定めることが可能である。
大圏コースの線分を定める２点に関しては北と南か南と北半球に入る場合であり、
| 確率は２* | １ ２2 | であり、 |
| よって全体で確率は | NＣ2 ２N-1 | である。 |
| 以上合計すれば無事な確率は | NＣ0＋NＣ2 ２N-1 | である。 |
【ＰＳ】
やはり直接の解釈方法がありました。
◆出題者のコメント
かえるさん、Y.M.Ojisanさん、解答ありがとうございます。
いずれも正解です。
（コメントが遅くなって申し訳ありません。）
一般に、ｄ次元球の表面である(ｄー１)次元球面の半球面上に
ｎ点すべてが存在する確率を Ｆ(d,n) とすると、
| Ｆ(d,n)＝{ | d-1 Σ k=0 | n-1Ｃk | } | /２n-1 が成立します。 |
ですから、
【問題１ーＡ】
| Ｆ(2,n)＝ | n-1Ｃ0 ＋ n-1Ｃ1 ２n-1 | ＝ | ｎ ２n-1 |
【問題１−Ｂ】
| Ｆ(3,n)＝ | n-1Ｃ0 ＋ n-1Ｃ1 ＋ n-1Ｃ2 ２n-1 | ＝ | ｎ2−ｎ＋２ ２n |
ですね。