◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
（１） １４通り。
（２） ４１通り。
（３）
ａ3＝１
ａn＝３×ａn−１−１
ａn＝１／２×（３n-3＋１）
左右対称の綺麗な式の表現が解りません。
左右対称の綺麗な式に表現出来ないと言うことは、間違っているのでしょうね。
【コメント】
（１）は正解です。
（２）は誤りです。
七角形の場合は、ａ7＝４２になるはずです。
ちなみに八角形はａ8＝１３２です。
この問題は苦戦されている方が多いようなので、ヒントを追加します。
ａnをａn−１で表すのではなく、ａ2からａn−１で表すのがミソです。
例えば、二角形？は１、三角形は１、四角形は２、五角形は５
ａ5＝５＝１×２＋１×１＋２×１ですから、
この式をａ2＝１,ａ3＝１，ａ4＝２を用いて表すことができると思います。
六角形ａ6＝１４ですから、同様にａ1〜ａ5を用いて表すことができます。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
ヒントを手がかりに推理しました。
階差数列になるかどうかもわかりません。
仮に階差数列になったとしても、一般式は７次元以上が予想されます。
信じられないような綺麗な式が予想されます。
（３）
ａ4
＝ａ3×ａ2＋ａ2×ａ3
＝１×１＋１×１
＝２
ａ5
＝ａ4×ａ2＋ａ3×ａ3＋ａ2×ａ4
＝２×１＋１×１＋１×２
＝５
ａ6
＝ａ5×ａ2＋ａ4×ａ3＋ａ3×ａ4＋ａ2×ａ5
＝５×１＋２×１＋１×２＋１×５
＝２×７
＝１４
ａ7
＝ａ6×ａ2＋ａ5×ａ3＋ａ4×ａ4＋ａ3×ａ5＋ａ2×ａ6
＝１４×１＋５×１＋２×２＋１×５＋１×１４
＝４２
ａ8
＝ａ7×ａ2＋ａ6×ａ3＋ａ5×ａ4＋ａ4×ａ5＋ａ3×ａ6＋ａ2×ａ7
＝４２×１＋１４×１＋５×２＋２×５＋１×１４＋１×４２
＝４２＋１４＋１０＋１０＋１４＋４２
＝２×６６
＝１３２
以上です。
信じられないような数の規則性というか神秘性を感じます。
先生がヒントを出したくなる気持ちがわかるような気がします。
自信作ですね。感激しております。
【コメント】
今度は見事正解です。
回帰的な公式になるのが面白いところですね。
これを証明するには、数学的帰納法が有効かもしれません。
五角形を求めるには四角形の結果を（五角形を四角形と一つの三角形に分ける）、六角形を求めるには五角形の結果を（六角形を五角形と一つの三角形に分ける）と必ず前の結果が利用できるはずですから。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
数列の帰納的定義で、わかさひ君さんが触れておられる数列サイトに、この問題の一般項と、この数列になる実例が紹介されています。
Catalan mumbersと言うそうです。
| ａn＝ | 2nＣn ――― ｎ＋１ | ＝ | ２ｎ！ ―――――― ｎ！(ｎ＋１)！ |
ｎ＝５
| ａ5＝ | １０！ ――――― ５！×６！ | ＝４２ |
ｎ＝６
| ａ6＝ | １２！ ――――― ６！×７！ | ＝１３２ |
【コメント】
これはあまりにも美しい公式ですね。
思わず感動しました。
◆石川県 青木からの解答。
この問題はＬ・オイラーが１７５１年にゴルトバッハへの手紙の中で示したものだそうです。
の式を証明します。
多角形Ｔn＝Ｐ1Ｐ2Ｐ3・・・Ｐnとします。
対角線Ｐ1ＰmとＰmＰnによって、Ｔnは次の３つの部分に分割されます。
ここでｍを固定して考えると、
Ｔmの分割される数はａm、
Ｔn+1-mの分割される数はａn+1-mとなる。
したがって△Ｐ1ＰmＰnを含むＴnの分割は
ａm×ａn+1-mとなる。
Ｔnを分割したものには必ず△Ｐ1ＰmＰnのどれかが含まれるから、ここでｍを２からｎ−１まで変化させると、