◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
Ａ，Ｂ，Ｃの順に答えたとする。
●Ｃの推理
| Ａ | Ｂ | Ｃ | ||
| (1) | 赤 | 赤 | 赤 | |
| (2) | 赤 | 赤 | 青 | この場合、Ｂが自分の帽子の色は赤と判ったはずです。 |
| (3) | 赤 | 青 | 赤 | |
| (4) | 赤 | 青 | 青 | この場合、Ａが自分の帽子の色は赤と判ったはずです。 |
| (5) | 青 | 赤 | 赤 | |
| (6) | 青 | 赤 | 青 | この場合、Ｂが自分の帽子の色は赤と判ったはずです。 |
| (7) | 青 | 青 | 赤 |
赤の帽子３個、青の帽子２個のとき上記の７通りしかない。
問題となるのは２）の場合。
Ａは論理的には、赤か青か判らないはず。
Ａの判らないという答えを聞いたＢは背理法を使って、もし自分（Ｂ）の帽子の色が青ならＡは「自分の帽子の色は赤」と判るはずなのに、判らないと答えている。
判らないと答えていることから、自分の帽子の色は赤と判るはずである。
したがって２），４），６）の場合はなかったことになる。
そうなるとＡ，Ｂ，Ｃが実際にかぶった帽子のパターンは、１），３），５），７）になり、Ｃは自分の帽子の色は赤と判る。
【コメント】
この問題は、かなり有名な問題だそうですが、特に２）の場合が面白いですね。
◆福井県の中学校３年生 かおる さんからの解答。
よって、『赤・青・赤』『青・赤・赤』『青・青・赤』の３通りが答えです。
◆東京都 vic.R さんからの解答。
解答として付け加えるものではありませんが、解答の整理とこの問題についての感想をのべます。
ｒを赤い帽子、ｂを青い帽子、？は不明として、下表により説明する。
左の4列がＡの判断、右の5列がＢの判断（太字で表現）
| A | ? | ? | ? | r | r | r | r | b | b | |
| B | r | r | b | b | ? | r | b | ? | r | |
| Ｃ | r | b | r | b | r | b | b | r | b | |
| 組み分け | 2) | 2) | 2) | 1) | 3> | 2> | 1> | 3> | 2> |
ＡとＢの判断の組み合わせは
１）−−1>
２）−−２>、３>となる
すなわち
Ａは
１） 2人ともｂなら自分はｒ
２）そうでないときは自分は不明
この２つしか、論理的な解答はない。
Ｂは
1> Ａが１）なら、自分はｂ
2> Ａが２）でＣがｂなら自分はｒ
3> Ａが２）でＣがｒなら自分は不明
論理的な解答はこの３つである。
したがって、Ｃは1>、2>、3>に対応して ｂ、ｂ、ｒと解答できる。
とすると、実はＣはＡが論理的に解答していればその内容が不明でもＢの論理的解答で解答できる。
つまりＢが帽子の色がわかればｂ、不明ならｒと解答できる。
つまり、問題は（論理的解答を前提として）「最初に解答したＡの解答を聞いて、Ｂは自分の帽子の色がわかった（あるいはわからない）といいました。
Ｃの帽子の色はなんでしょう」とすることができる
（感想）
この問題が古くからあるのはおっしゃるとおりです。
何度か、クイズの本で見かけます。
そのことで思い出すのは、小学低学年向けにかかれた「赤いぼうし」という絵本です。
この絵本全体がこの問題をあつかっています。
この本は野崎昭弘 文、安野光雅 絵 童話屋の出版、美しい数学という森毅先生などによるシリーズの５にあたるもので１９８４年発行です。
低学年にもわかるよう工夫しながら、論理的に（「もし」という考え方など）説明しています。
（解説には図があるのですが、本文は文章だけなので結構筋道をたどるのはしんどい）
たまたま部屋を整理していたらこの本がでてきました。
当時小学2年の息子のために買ってやったものですが、結構熱心にみて理解していたのを思い出します。
小学校では随分と算数や論理に熱心で関心も高かったのに、大学生のいまは数学はまったくだめ、とても残念におもっています。
◆京都府の中学校３年生 おじゃる丸 さんからの解答。
まず、図で考えます。
| Ａ | Ｂ | Ｃ | ||
| １ | 赤 | 赤 | 赤 | これはＣがわからない。 |
| ２ | 赤 | 赤 | 青 | これもＣがわからない。 |
| ３ | 赤 | 青 | 赤 | |
| ４ | 赤 | 青 | 青 | ＢとＣが青でＡがわかる。 |
| ５ | 青 | 赤 | 赤 | |
| ６ | 青 | 赤 | 青 | ＡとＣが青でＢがわかる。 |
| ７ | 青 | 青 | 赤 |
３はＣがもし青だったらＡが青だとわかってしまうのでＣが赤だとわかります。
５はＣがもし青だったらＢが赤だとわかってしまうのでＣが赤だとわかります。
７は青は２個しかないのでＣが赤だとわかります。
よって、［赤 青 赤］［青 赤 赤］［青 青 赤］の３通りが答えです。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
この問題でＡ,Ｂ,Ｃが赤,赤,赤の場合、
「清川育男さん」や「vic.R さん」は、Ｃはわかる。
他の２人の解答者は、Ｃはわからない。
としています。
結論から先に述べれば、Ａ,Ｂが、どのように答えようがＣは常にわかります。
以下にその推理を示します。
Ａが「わかる」ならば、Ｂ,Ｃとも青です。
Ａが「わからない」ならば、Ｂ,Ｃの内の少なくとも１人は赤です。
（何故なら、Ｂ,Ｃとも青ならＡは「わかる」筈です）
Ａが「わからない」後、ＢがＣを見て青ならば自分(Ｂ)は赤と「わかる」筈です。
（何故なら、自分(Ｂ)も青ならＡは「わかる」筈だったからです）
Ａが「わからない」後、ＢがＣを見て赤ならば自分(Ｂ)も「わからない」筈です。
（何故なら、Ｃが赤なら自分(Ｂ)が何色でもＡが「わからない」のに矛盾しないからです）
これらのことは、ＢはＡの気持ちに、ＣはＢやＡの気持ちになれば推理できます。
ですから、Ａ,Ｂがどのように答えようがＣは次のように常にわかります。
Ａ「わかる(赤)」,Ｂ「わかる(青)」,Ｃ「わかる(青)」
Ａ「わからない」,Ｂ「わかる(赤)」,Ｃ「わかる(青)」
Ａ「わからない」,Ｂ「わからない」,Ｃ「わかる(赤)」
この解法では、自分の帽子の色を推理するのに、ＢはＡの帽子の色を、ＣはＢやＡの帽子の色を、
まったく利用していません。
ですから、問題を以下のようにさらに面白くしても結果は同じです。
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３個の赤い帽子と、２個の青い帽子があります。
これらの帽子を３人に見せてから、縦１列に並んでもらいました。
後ろから順に自分の帽子の色をたずねたところ、いつも先頭の人はわかったと答えました。 縦１列に並んでいるので前にいる人(達)の帽子は見えますが、他の帽子は見えません。 |
◆大阪府 ドラキュラ さんからの解答。
Ａ，Ｂ が赤青、または青赤の場合、Ｃも青なら、ＡかＢのどちらかは青青の帽子を見ることになり、自分の帽子は赤いとわかる。
ゆえにＣの帽子は赤いとわかる。
Ａ，Ｂ が青青の場合、Ｃは自分の帽子は赤いとわかる。
◆愛知県の高校生 ひろ さんからの解答。
これは『３枚のカード』の簡単バージョンですね。
赤３、青２
まず「Ａが分からない」より「ＢＣは少なくとも一方が赤。」
「Ｂが分からない」より「ＡとＣは少なくとも一方が赤。」
またＣが二人を見たとき時
ＡＢが青の時…赤
Ａが赤、Ｂが青の時…Ａが分からないより、赤
Ａが青、Ｂが赤の時…Ｂが分からないより、赤
ＡＢが赤の時…もしもＣが青ならば、ＡがわからないよりＢはＣをみて自分が青じゃない、赤だと断定できるが分からなかった。
よってＣは青じゃない、赤
以上の通りＣは考えた。
この問題はもしＣに青をかぶせたら成立しなくなると言うのがみそですね。
なんかスマートに解けて嬉しいです。
でも今気づいたけど、最後の背理法の証明しちゃえば上のはいらないですね(^_^;)
まだまだですm(__)m
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
最初にＡさんが自分の帽子の色を判別できるのは、ＢさんとＣさんの２人とも青帽子だった場合です。
（青帽子は２個しかないので、Ａさんは当然赤帽子になります）
しかしＡさんは自分の帽子の色を判別できませんでした。
したがって、ＢさんとＣさんの少なくとも１人は赤帽子です。・・・（１）
そしてこのことは、Ａさんが答えた時点でＢさん・Ｃさんにも当然わかってしまいます。
次にＢさん。もしＣさんの帽子が青だったら、（１）より自分の帽子は赤だとすぐわかるはずです。
しかしＢさんはわかりませんでした。
よってＣさんの帽子は赤です。
というわけで、Ｃさんの帽子が赤であることが確定しました。
もちろんこのことはＣさんにもわかりました。
残念ながら、ＡさんとＢさんの帽子の色が何であったかは我々にはわかりません。