『１９９８』解答

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題２】

　べき乗が奇数のとき、８¹＝８。
偶数のとき、８²＝６４。
　６＋４＝１０。１＋０＝１。

この規則性をうまく説明できませんが、１９９８は偶数であるから、
２¹⁹⁹⁸のとき　．．．．。１０。１＋０＝１。

　答え　１

【コメント】

鋭い洞察ですね。
確かに偶数か奇数かで最後の結果が変わります。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題１】

１の位の数に着目する。
８×８＝６４
４×８＝３２
２×８＝１６
６×８＝４８
８×８＝６４

以上のように　４，２，６，８，４，・・・，。
４，２，６，８が循環する。

１９９８÷４＝４４９．．．２。４４９×４＝１９９６。
１９９６乗のとき　　８
１９９７乗のとき　　４
１９９８乗のとき　　２

答え　２

【問題４】

ａ²−ｂ²＝１９９８
(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)＝１９９８

X＝ａ＋ｂ，Y＝ａ−ｂ　とおく。
（−X＝ａ＋ｂ，−Y＝ａ−ｂ)

ａ＝

X＋Y ――― ２

，ｂ＝

X−Y ――― ２

１９９８＝２×３³×３７
ａ，ｂは整数であるから、(X,Y)の組は（偶数，偶数）か（奇数，奇数）でなければならない。
しかしながら、
X×Y＝２×３³×３７
２の素因数が１つあるので、(X,Y)の組を（偶数，偶数）または（奇数，奇数）になるように分解できない。
したがって、題意を満たすａ,ｂは存在しない。

答え　存在しない

【問題６】

一般式

ａ＝	n(n＋1)(2n＋1) ――――――― ６

ｎ＝１９９８のとき

1998×(1998＋1)×(2×1998＋1) ――――――――――――――― ６

＝2660670999

となりますが、この解答を求めているのではないと思います。
問題１のように循環する規則による解答を求められているように思います。

１の位に着目すると、
１＋４＋９＋６＋５＋６＋９＋４＋１＋０＝４５
のように循環する。

１９９８÷１０＝１９９．．．８
１＋４＋９＋６＋５＋６＋９＋４＝４４
５＋４＝９

答え　９

【コメント】

　問題の意図を考えて、解答を書いてくださるので大変助かります。
１９９８が奇数だと、もっと面白い問題ができるのですが・・・。

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題３】

χ＝１９９９！＋１とする。
(１９９９！＋１)＋１，(１９９９！＋１)＋２，(１９９９！＋１)＋３，
　・・・・，
(１９９９！＋１)＋１９９８

つまり １９９９！＋２，１９９９！＋３，１９９９！＋４，
　・・・・，
１９９９！＋１９９９

２，３，４，・・・・，１９９９は１９９９！とそれぞれに共通因子を持つのでそれでくくることが出来る。
したがって、すべてが合成数となる。

答え　１９９９！＋１　

【問題５】

１）（１＋１９９７）×１９９７／２＝１９９５００３
２）（２＋１９９６）×９９８／２＝９９７００２（２の倍数）
３）（３＋１９９５）×６６５／２＝６６４３３５（３の倍数）
４）（３７＋１９６１）×５３／２＝５２９４７　（３７の倍数）
５）（６＋１９９２）×３３２／２＝３３１６６８（２×３の倍数）
６）（７４＋１９２４）×２６／２＝２５９７４　（２×３７の倍数）
７）（１１１＋１８８７）×１７／２＝１６９８３（３×３７の倍数）
８）（２２２＋１７７６）×８／２＝７９９２　　（２×３×３７の倍数）

　　１）−２）−３）−４）＋５）＋６）＋７）−８）
　＝６４７３５２　

答え　６４７３５２　

◆神奈川県　わかさひ君からの解答。

【問題２】

８¹⁹⁹⁸�� (−１)¹⁹⁹⁸ (mod 9)＝１
ゆえに、１。

【問題３】

１９９９！＋１。

【問題５】

１９９８＝２×３³×３７なので、

　φ(１９９８)
＝ φ(２)φ(３³)φ(３７)
＝(２−１)× (３³−３²)×(３７−１)
＝１×１８×３６
＝６４８。

【コメント】

　問題５の解答は「１から１９９８までの整数で、１９９８と互いに素となるもの」の個数です。
清川さんから、
　(１＋１９９７)／２×φ(１９９８)
＝９９９×６４８
＝６４７３５２。

ベン図を使って計算したものと、一致するという指摘が来たのですが、これは偶然でしょうか。
どなたか教えてください。
それにしても合同式を使うと鮮やかですね。

更に清川さんは、

ｎを自然数とするとき、ｎ以下の自然数でｎと互いに素なものの個数をφ(ｎ)とする。
このとき、ｎ以下の自然数でｎと互いに素なものの総和は、常に

１＋（ｎ−１） 　―――――― ２

×φ（ｎ）

＝

ｎ ―― ２

×φ（ｎ）

となるのではないかという予想したそうです。
証明はまだのそうなので、興味のある方は取り組んでみてください。

φ（ｎ）についてはオイラーの関数に説明があります。

◆岐阜県　水の流れ　さんからの解答。

【問題５】

１９９８＝２×３×３×３×３７より、
Ａ＝｛２の倍数｝，Ｂ＝｛３の倍数｝，Ｃ＝｛３７の倍数｝とおくと、
互いに素ということは集合Ａ∪Ｂ∪Ｃの補集合だから、求める個数は

１９９８（１−

1 ―― 2

）（１−

1 ―― 3

）（１−

1 ―― 37

）

＝６４８としても出てきます。

　また、それらの和はガウスの方法を利用すれば、
Ｓ＝１＋５＋７＋１１＋・・・＋１９９７　だから
２Ｓ＝（１＋１９９７）×６４８
Ｓ＝６４７３５２　（答え）

　ご存じかも知れませんが、お尋ねの件ですが、一般に成り立つことです。
オイラー関数も同じですが、積の法則等理解するのに時間がいります。

【コメント】

　やはり一般に成り立つ性質だったのですね。
ところで偶然ですが、１９９８の問題のタイトルは１９９８のバックに「水の流れ」が見えるようにしました。
水の流れ　さんが答える運命の問題だったのかもしれません。

◆東京都の中学校１年生　安里歩安彼 さんからの解答。

清川さんの予想に関する答えです。

ｋがｎと互いに素なら、ｎ−ｋもｎと互いに素だということは当たり前ですね。
よって、Φ（ｎ）の集合全体で、ｋとｎ−ｋのペアを作ることができます。

偶数の場合は、
ｎ−ｋ＝ｋとなるのはｋ＝ｎ／２の場合のみですが、
ｎ／２は当然ｎと互いに素でないのでΦ（ｎ）の集合には入りません。

よって、ｎ×Φ（ｎ）÷２が総和となって、命題は成立します。

　『１９９８』へ

　数学の部屋へもどる