『空間上の格子点』

【問題】

xyz空間上の格子点の各座標を素数pで割る事を考える。
今、格子点(x,y,z)をpで割った余りで考えたp³個の点について考える。
次の問に答えよ。

【問題１】

原点を通りある格子点(a,b,c)を通る直線を考える。
この直線は素数pを法としてちょうどp個の点を通る事を示せ。

【問題２】

原点と格子点(a,b,c)を通る直線を<a,b,c>とおく。
このような直線は何本存在するか。

【問題３】

直線<a,b,c>が<a,b,c>≠<1,1,1>を満たす時、
全ての整数a,b,cに対して<a,b,c>,<b,c,a>,<c,a,b>が異なる直線になるような素数pを全て求めよ。

以下では3)を満たすような素数pについて考える。

【問題４】

直線<a,b,c>≠<1,1,1>が与えられたとき
<a,b,c>,<b,c,a>,<c,a,b>を一組として<<a,b,c>>と書く。
定義より(a,b,c)≠(1,1,1)である。

このような<<a,b,c>>の個数を求めよ

【問題５】

直線<a,b,c>に対してax+by+cz≡0 mod.pを満たす整数x,y,zの集合を平面[a,b,c]とする。
さらに<b,c,a>,<c,a,b>に対しても平面[b,c,a],[c,a,b]を定義する。
直線と同様にして、[a,b,c],[b,c,a],[c,a,b]を一組にして[[a,b,c]]と定義する。
すなわち[a,b,c]∪[b,c,a]∪[c,a,b]=[[a,b,c]]である。

集合[[a,b,c]]は何通り存在するか

【問題６】

集合[[a,b,c]]と[[d,e,f]]が異なる集合であるとき、これらの集合の共通部分は最大でいくつの直線を含むか。

◆解答用紙はこちらです。　【寄せられた解答】

　◆個数を数える問題へもどる

　数学の部屋へもどる