『2000枚のカード』


【問題】

Aと書かれたカードが999枚。Bと書かれたカードが1001枚あります。

これら合計2000枚を左から順番に適当に並べて、その文字列の順に従い紙にメモっておきます。
そしてこれら2000枚を一旦回収してシャッフルした後、再び先程メモった文字列の下段に左から順番に並べます。

上下段を同時に左から見ていって同じ文字が書かれてある箇所が丁度k個となるような(下段の)組み合わせの個数をP(k)で表すことにします。

さてそのとき、

1999
Σ
k=0
(2000−k)P(k)

は1999で割り切れることを証明して下さい。

(例):もっとスケールが小さいモデル。

Aが2枚でBが3枚。
紙に左からABBABと書かれているモデル。

このとき例えばP(3)=6です。

実際、
ABBAB

ABBBA
ABABB
AABBB
BBBAA
BBAAB
BABAB

の6つ存在しています。

 


 解答用紙はこちらです。 【寄せられた解答】


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