『リング状に並べた自然数』

『笑わない数学者』というミステリの中で紹介されている問題を改題したものだそうです。

【問題】

自然数をリング状に並べます。
その状態で、リングの中に連続して並んだいくつかの自然数の合計をとります。
合計をとる自然数はいくつ選んでもかまいません。
１つだけでも、全部でもかまいません。
ただし、続いて並んでいなければならず、飛び飛びに合計することはできません。

【問題１】

４個の自然数をうまく選んで並べると、１から１３までの合計をつくることができます。
４個の自然数とその並べ方を見つけてください。

【問題２】

５個の自然数をうまく選んで並べると、１から２１までの合計をつくることができます。
５個の自然数とその並べ方を見つけてください。

【問題３】

６個の自然数をうまく選んで並べると、１から３１までの合計をつくることができます。
６個の自然数とその並べ方を見つけてください。

【問題４】

ｎ個の自然数を選ぶ場合、１から最大いくつまでの合計をつくることができると予想できるでしょうか？
また、実際にそれは可能でしょうか？