『長方形分割ゲーム』


 今回のテーマは縦、横にマス目のある長方形の紙から、2人の人が交互に1行(1列)ずつ、はさみで切り取っていくゲームです。
今、図1のように、m×nの長方形の紙を考えます。
(図は4×5の場合です。)

その紙の縦または横にはさみを入れ、マス目に沿ってどれか一行(または一列)を切り取ります。
切り取った部分はゴミ箱に捨てます。
もし切ったのが端の一行なら、元の長方形は一行だけ短くなります。
内部の一行を切り取った場合は、図2のように小さくなった長方形2枚に分かれます。

     

 

交互にこの操作を繰り返すと、長方形は何枚にも分かれますが、合計面積は減っていくので、いつかは必ずゲームが終わるはずです。
もう切ることができなくなった人が負けです。

【問題1】

m、nがともに奇数のとき、先手・後手のどちらに必勝法があるでしょうか。
また必勝である理由を示してください。

【問題2】

m、nの一方が奇数、もう一方が偶数のとき、先手・後手のどちらに必勝法があるでしょうか。
また必勝である理由を示してください。

【問題3】(難問?)

m、nがともに偶数のとき、先手・後手のどちらに必勝法があるでしょうか。
また必勝である理由を示してください。

【問題4】

最初の長方形の枚数が複数であるとします。
先手、後手のどちらが必勝であるかを判断する方法を示してください。


【寄せられた解答】中の最後に『Excel97のデータ』があります。
コンピュータと対戦できるので、ぜひ試してください。


 解答用紙はこちらです。 【寄せられた解答】


 ◆コンピュータとゲームへもどる

 数学の部屋へもどる