神奈川県の高校生 tankentai さんからの問題です。
【問題１】
0≦θ≦πの時
| sinθ≦θ≦ | 2sinθ cosθ+1 | が成り立つことを証明せよ。 |
【問題２】
| n k=1 |
k2006のnに関する最高次数の係数を求めたい。 |
(1) 積分を用いて求めよ。
(2) 数列を用いて求めよ。
| (3)一般的に | n k=1 |
km (mは自然数)の |
| nmの項の係数は | １ ２ | であることを証明せよ。 |
【問題３】
三角形ABCは面積16を保ち、鈍角三角形ではない。
∠BAC=θとして次の問に答えよ。
問題文中の内積とはベクトルの内積のことを示し、AB+ACとは辺の長さの和をあらわす。
(1) 内積AB・AC=8である時sinθを求めよ。
| (2) | π 4 | ≦θ≦ | π 2 | の時、内積AB・ACの範囲を求めよ。 |
(3) 12≦AB+AC≦24が成り立つ時の内積AB・ACの範囲を求めよ。
(4) 2≦内積AB・AC≦64が成り立っている時のBCの長さの範囲を求めよ。
【問題４】
a(1)=0,a(2)=6,a(3)=1であるとき次の数列の一般項を求めよ。
a(n+3)−5a(n+2)+13a(n+1)−21a(n)−24=0
ここでa(n)とは数列aの第n項のことを表す
【問題５】
logx (x+y-23)-logy (x+y-15)=logy (x+y+7)-logx (x+y+15) logx (x+y-23)+logy (x+y-15)+logy (x+y+7)+logx (x+y+15)=2k上の二行の連立方程式においてx,yが整数であり、
【コメント】
学校ではなかなか見られない視点から問題を作ってみました。
普通の問題とは解き方か答えが違うような問題にしてみました。
| ちなみに問題１にθ= | π 12 | を入れると |
大学入試の問題「円周率が3.05以上であることを証明せよ」も中学3年の時は普通に解いたのですが、高校1年で思いついた問題１の公式も他では載っていないと思われる解法です。
この問題は何通りの解き方があるのでしょうかね？
問題１と問題３(4)は三角関数の微分を知っていると簡単なのですが、今回は数UBの範囲で解いてください。
(つまり三角関数の微分は使わないようにするということです。)
今回もいろいろな解法をお待ちしております。