『高校生からの挑戦状Part47』

　滋賀県の高校生　-25-@ucchie さんからの問題です。

【不思議な数列】

数列{A(n)}(n=1,2,3…)を次のように定義します．

A(1)=1,n=2,3,4…のとき，

とします．

【問題１】

A(2),A(3)を求めてください．

【問題２】

lim
n→∞ A(n)=αとするとき，αを求めてください．

ここで，数列{B1(n)}(n=1,2,3…)を，B1(1)=α，
n=2,3,4…のとき，数列{A(n)}と同じ形を持つ数列
(つまりA(n)の式の中のA(k)(k=1,2,…,n-1)を全てB1(k)(k=1,2,…,n-1)にしたもの)
とします．

さらに， lim
n→∞ B1(n)によって得られる値をβ(1)とし，

数列{Bm(n)}(m=2,3…)を，Bm(1)=β(m-1),
n=2,3,4…のとき，数列{A(n)}と同じ形を持つ数列，

lim
n→∞ Bm(n)=β(m)，として帰納的に定義していきます。

【問題３】

lim
m→∞ β(m)の値を求めてください．

　解答用紙はこちらです。