『高校生からの挑戦状Part44』

　大阪府の高校生　ezell さんからの問題です。

【問題】

xⁿ-1 の係数が整数となる範囲での因数分解について考える。
必要なら次の定理を用いて以下の命題を証明せよ。

【アイゼンシュタインの定理】

係数がすべて整数で、最高次の項の係数以外の係数はすべてある素数で割り切れ、定数項はその素数の２乗で割り切れないとき、その整式は定数因数を除いて因数分解できない。

たとえば、　3x²+5x+5　は係数が整数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

【命題１】

pが素数のとき、x^p-1 を因数分解したとき因数の数は２個である。

【命題２】

pが素数、kが自然数のとき、
　を因数分解したときの因数の数は p^k の約数の数と等しい。

【命題３】

pが素数、kが自然数のとき、
を因数分解したときの因数の数は 2p^k の約数の数に等しい。

【命題４】

xⁿ-1 を因数分解したときの因数の数は、少なくともnの約数の数になる。