石川県の高校生 takason さんからの問題です。
【問題１】
Sは平面上の2n＋1個の点の集合で、そのうちのどの3点も同一直線上になく、どの4点も同一円周上にない。
ある円がSの3点を通り、n−1個の点を内部に含み、n−1個の点を外部に含むとき、その円は「良い」と呼ばれる。
良い円の個数とnは奇偶が同じであることを証明せよ。
【問題２】
非負整数からなる2つの無限集合A、Bで、
任意の非負整数nに対し、
n＝a＋bとなるようなa∈Aとb∈Bがつねに1組だけ存在するようなものが存在することを証明せよ。
（A∩B＝φとは限らない）
また、上の性質を満たす任意のA、Bについて、A、Bのいずれかは、
ある整数k＞1の倍
数のみを要素とする集合であることを証明せよ。