◆奈良県 DAI さんからの解答。
正しくない
【反例】
an＝0（n=1,2,…,ab+1）
問題文を「相異なるab+1個の実数からなるどのような数列に対しても…」に変えた場合、命題は正しい
【証明】
相異なるab+1個の実数からなる数列を
x1，x2，…，xab+1とする。
各xiに対して、次のように（pi，qi）を対応させる。
（i＝1，2，…，ab+1）
pi：xiで始まる最長の増加列の長さ
qi：xiで終わる最長の減少列の長さ
ここで、問題の結論を否定すると、
どのpi，qiに対しても、1≦pi≦a，1≦qi≦bより、
異なる（pi，qi）の組は高々ab個しかない。
よって、鳩の巣原理より、（pi，qi）＝（pj，qj）となるi≠jが存在する。
しかし、任意のi，jに対してxi≠xjより、
xi＜xjならば、pi＜pj
xi＞xjならば、qi＜qj
いずれの場合も、（pi，qi）＝（pj，qj）に矛盾する。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【答え】
増加や減少を不変は含まないものと狭義に解釈すれば、命題は偽。
増加や減少を不変も含むものと広義に解釈すれば、命題は真。
【証明】
狭義に解釈したとき、命題が偽となるのは明らかゆえ証明は省略します。
以下、広義に解釈したとき、命題は真である証明です。
題意の数列 ｎ1,ｎ2,…,ｎab+1 において、
項ｎkから始まる最多の増加列の項数を ｘk 、
項ｎkから始まる最多の減少列の項数を ｙk 、
とし、
ｍk＝(ｘk,ｙk) とします。
もし、(ａ＋１)項による増加列も、(ｂ＋１)項による減少列も存在しないなら、
ｘ1,ｘ2,…,ｘab+1 の値は多くてもａ種類で、
ｙ1,ｙ2,…,ｙab+1 の値は多くてもｂ種類です。
すると、ｍ1,ｍ2,…,ｍab+1 の値は多くてもａｂ種類です。
ところが、任意の ｉ＜ｊ において、
ｎi≦ｎj なら、ｘi＞ｘj で、
ｎi≧ｎj なら、ｙi＞ｙj です。
それ故、ｍ1,ｍ2,…,ｍab+1 の値はすべて異なるため、(ａｂ＋１)種類ある筈です。
ａｂ≠ａｂ＋１ ゆえ、明らかに「(ａ＋１)項による増加列も、(ｂ＋１)項による減少列も存在しない」とすると矛盾します。
よって、(ａｂ＋１)項の数列には、(ａ＋１)項による増加列か、(ｂ＋１)項による減少列が、必ず存在します。
証明は終わりです。
【Ｐ・Ｓ】
解釈により結果に違いが生じないように、「ａｂ＋１個の異なる実数からなる…」とすれば紛らわしくなかったですね。
すると、増加や減少に決して不変は含まれませんから、命題は解釈に関係なく常に真です。
その証明は、上の証明の中の
ｎi≦ｎj と ｎi≧ｎj を、
ｎi＜ｎj と ｎi＞ｎj に変えるだけです。