◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題３】
期待値は、人数ｎに関係なく１になります。
このことを、以下のように言い換えます。
「ｎ人のクラスで席替えをしたとき、新しい席の並び方は、ｎ！通りあり、それぞれの場合において、元の席と同じ席に座っている人数を合計すると、のべｎ！人になる」
＜証明＞
ｎ＝１のとき
新しい席の並び方は１通りあり、元の席と同じ席の人はのべ１人であるので上記の性質を満たす。
ｎ＝ｋのとき、上記の性質が成り立っているとする。
ｎ＝ｋ＋１の時の並べ方および、元の席と同じ席に座っている人数を、以下のように求める。
ここで、人をＰ1、Ｐ2、・・・・とし、
Ｐk の元の席をＤk とする。
まず、ｋ人での並べ方
(ｋ！通りで、元の席に座っているのはのべｋ！人)を
ｋ＋１組作り、Ｇ1、Ｇ2、・・・Ｇk、Ｇk+1 とする。
この時点で、元の席と同じ席に座っている人は、のべ
ｋ！×(ｋ＋１)＝(ｋ＋１)！ 人である。・・・(１)
ここに、ｋ＋１番目の人Ｐk+1を以下のように追加する。
Ｇt (t=１、２、・・・ｋ)のグループについては、
Ｐk+1をＤtに座らせ、
Ｄt に座っていた人をＤk+1 に座らせる。
Ｇk+1 は、Ｄ1からＤk まではそのままで、
Ｐk+1 をＤk+1 に座らせる。
これで、ｋ＋１人の並び方、(ｋ＋１)！通りができる。
このときの、元の席と同じ席になった人の増減を調べると、
Ｇt (t=１、２、・・・ｋ)では、それぞれｋ！通り並び方があるうちの、
ＰtがＤt に座っていた場合の(ｋ−１)！通りが、
Ｐk+1 の割り込みにより、同じ席でなくなったので、
(ｋ−１)！×ｋ＝ｋ！人 減っている。
Ｇk+1 では、Ｐk+1 が元の席と同じ席になっているので、
ｋ！人増えている。
結局、(１)に比べて、元の席と同じ席になった人数は、変わっていない。
つまり、ｎ＝ｋ＋１のときについても、上記の性質が成り立ち、数学的帰納法により、任意の自然数について上記の性質が成り立つ。
【出題者のコメント】
当然帰納法は予想された方法ですが、ヨッシーさんの証明は私が考えていたものよりきれいですね。
３番だけ解答してくるなんて、ニクイですね！（笑）
◆京都府 ジョナサン さんからの解答。
【問題３】
期待値は、人数ｎに関係なく１になります。
n人のうちのある一人Aについて考えます。
| Aが同じ席につく確率は | 1 n | です。 |
| つまり、Aに関して、同じ席につく人数の期待値は | 1 n | である。 |
| 1 n | *n=1 |
◆愛知県 大石 さんからのコメント。
京都ジョナサンさんの解答は、結果オーライですが、Ａが同じ席につく事象と、それに続く他の人の席のつき方は独立でないので、 そこを証明に加えなければ片手落ちだと思います。
◆愛知県 juin さんからの解答。
【問題３】
n人のクラスの生徒を考え、名簿番号を1,2,...,n とする。
確率変数x(k)を次のように決める。
kがもとの席にくるとき、x(k)=1,
kがもとの席にこない時、x(k)=0とする。
| P(x(k)=1)= | 1 n | ，P(x(k)=0)= | n-1 n | となる。 |
期待値は
E(x(1)+...+x(n))=E(x(1))+...+E(x(n))である。
E(x(1))=...=E(x(n))だからE(x(1))だけ計算する。
| E(x(1))=1× | 1 n | +0× | n-1 n | = | 1 n |
| E(x(1)+...+x(n))=E(x(1))+...+E(x(1))=n×E(x(1))=n× | 1 n | =1 |