『六角形の面積』

『六角形の面積』解答

◆宮城県　甘泉法師さんからの解答。

【問題１】

∠BAD=180°-90°-∠B = ∠BCF　= ∠DCH
両辺のtanをとって

BD
AD = HD
DC

BD・DC = AD・HD.

同様にして
CE・EA = BH・HE
AF・FB = CF・HF

３つの式の右辺どうし左辺どうしを掛けて与式を得る。

【問題２】

正三角形の辺の長さa=1

よって重心の高さh=
6 *a　とする。

ふたつの正三角形の重なりからはみ出す６つの三角形はすべて合同。
このうちのひとつを△PQR、∠P=60°∠Q=θ　∠R=120°-θ　とすると
p+q+r=a=1 .

正弦定理から　

q= sinθ
sin60° *p ,r= sin(120°-θ)
sin60° *p

を上式に代入して

p = 1
1 + 2 cos(60°-θ)

ふたつの正三角形の重なりは、辺の長さがすべてｐで
内角が交互に180°-θ、60°+θの6角形。

6角形を、回転中心Oを頂点とする６つの三角形に分けて考えて面積は、

6* 1
2 * p h =
2{1 + 2 cos(60°-θ)}

正三角形の面積を１に正規化すると

S(θ) = 2
1 + 2 cos(60°-θ) 、0≦θ≦120°

もっと大きなθには　　0≦ α = θ -ｎ*120°≦120°　で求められるαを使えばよい。

◆出題者のコメント。

＞甘泉法師さん

解答ありがとうございました。
私の考えた解答と同じものでした。

同じ問題にもいろいろな解法がありいろいろ勉強になりました。
また挑戦するのでよろしくお願いします。