◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
複素数でとけばよい。
問題３のn=１の場合である。
【問題２】
ベクトル空間でとけばよい。
問題３のn=２の場合である。
【問題３】
n+1次元の３角形である面Pmの法線ベクトル（テンソル）を
Smi i=1...n+1とする。
ここで Smiは
√(SmiSmi) = Pmの面積
Sml=εｌij...k *(V2-V1)i*(V3-V1)j*.....(Vn+1-V1)k/n!
εlij...kはlij...k が 1...n+1の偶置換のとき１ 奇置換のとき−１ その他のとき０であり、 全体として問題において行列式で与えられたPmの面積の定義と同じである。
| このとき |
m Σ p=1 | Sp | ＝０である。 |
なぜなら、n+1次元空間内の一様な流れを考えると
Pmから入ってくる流体の量と
P1 ... Pm-1 から出てゆく流体の量は等しい。
即ち流速ベクトルをＷとするとき，
| Sm・Ｗ＝- |
m-1 Σ p=1 | Sp・Ｗ。 |
Ｗは任意であるので
| よって、 |
m Σ p=1 | Sp | ＝０である。 |
｜Sk｜2
| ＝｜ |
m Σ p=1,p≠k | Sp | ｜2 |
| ＝ |
m Σ p=1,p≠k | ｜ | Sp | ｜2 | ＋ |
m Σ p=1,p≠k |
m Σ q=1,q≠k,q≠p | (Sp・Sq) |
ここで cosθの定義を代入すると、
| ＝ |
m Σ i=1,i≠k | ｜ | Si | ｜2 | -2 |
m Σ i=1,i≠k |
m Σ j=1,j≠k,j>i | cos(θij)|Si||Sj | ｜ |
なお、cosθの正負は 面Pi,Pjの法線ベクトルがほぼ同じ方向の場合 θはπに近くて負になるべきであり、
一方 Pi・Pjは正だから、符号はマイナスである。
面がすべて超３角形の場合は以上で証明終了。
面が超３角形でない場合も、面は幾つかの超３角形に分割できる。
Ｑi＝Ｓi1 + Ｓi2 + .....とする。
このとき Sip ｐ=1.2, ... は同じ方向のベクトルである。
すなわち cos(θi1,i2)=-1 ....
まず、Ｓi1 と Ｓi2 に着目し 関連項目を取り出すと
関連項目
| ＝|Ｓi1|2+|Ｓi2|2+２|Ｓi1||Ｓi2|cos(θi1,i2) - |
m Σ j=1,j≠i | ２|Ｓj |（|Ｓi1 |＋|Ｓi2 |）cos(θj,i) |
これを順次 Sip p=2,3... に対して繰り返すことにより
Qiの関連項目は
Qi 関連項目
＝ |Qi |2-２Σ|Ｓj ||Qi |cos(θj,i)
にまとめられ、同形式の関係式が得られる。
従って，他の面に対しても同じ操作でまとめることが可能であり、任意のｍ多面体に適用可能である。