『ある不等式』

『ある不等式』解答

◆神奈川県の高校生　Ozza さんからの解答。

(1) x=5,6のとき

13³＜2×3×5×7×11
17³＜2×3×5×7×11×13

よりそれぞれ不等式を満たす．

(2) x≧7のとき

ベルトラン仮説（『平方数に近い階乗』の補題の一部）を用いる．
「1より大きい自然数nに対し，n＜m≦2nとなるような素数mが1つ以上存在する．」

これより以下が分かる．

任意の自然数xに対し， p(x+1)
2 ＜p(x)
（なぜなら，ベルトラン仮説においてn=p(x)とすれば，
　p(x)＜p(x+1)≦2p(x)となるから）

これを帰納的に用いることによって，
任意の自然数x,nに対し， p(x+1)
2ⁿ ＜p(x+1-n)

これより，
（右辺）＝p(x-2)p(x-1)p(x)( x-3
Π
i=1 p(i))＞(p(x) ³ )( x-3
Π
i=1 p(i))/64

よって，示すべきは，
x-3
Π
i=1 p(i)＞64であるが，

これは，
4
Π
i=1 p(i)=2×3×5×7=210＞64より満たされる．

これで示すべき不等式はx≧5なる自然数xに対して示された．

◆海外　新井　浩之さんからの解答。

まず、x=5の場合を証明します。

p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, p(4) = 7, p(5) = 11, p(6) = 13 より、

(p(x + 1))³＜ x
Π
i=0 p(i) は
13³＜2*3*5*7*11、または　2197＜2310となります。

次に、(p(x + 1))³＜ x
Π
i=0 p(i) だと仮定した場合、

(p(x + 2))³＜ x+1
Π
i=0 p(i) 　を証明すればよいことになります。
ベルトラン仮説を用いると、
p(x+1) ＜ p(x + 2) ≦2p(x + 1)であるといえますが、
2p(x + 1)は素数ではないのでp(x + 2) ＜ 2p(x + 1)となります。

さらに、p(x + 2)³ ＜ (2p(x + 1))³となります。

(2p(x + 1))³ = 8(p(x + 1))³ となり、
(p(x + 1))³＜ x
Π
i=0 p(i) とされているので、

8(p(x + 1))³＜8 x
Π
i=0 p(i) となります。

さらに、x≦5より、p(x + 1) ＞8 であるため、
8 x
Π
i=0 p(i) ＜p(x + 1) x
Π
i=0 p(i) ＝ x+1
Π
i=0 p(i)であるため、

(p(x + 2))³＜ x+1
Π
i=0 p(i)　と結論付けられます。

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