『x[n+1]/x[n]→1？』

『x[n+1]/x[n]→1？』解答

◆宮城県　甘泉法師 さんからの解答。

反例：Xn = 1
2n		→　0
Xn+1
Xn		 = 1
2
◆正しい命題の前提：

Xn が　値a (≠0)に収束するならば、

証明：

任意のε＞０について自然数Nが存在し
　ｎ＞N　ならば　| Xn - a| < ε　。

a＞0 とする。

a - ε ＜Xn＜a + ε から

1 - ε/a
1 + ε/a		 ＜ Xn+1
Xn		 ＜ 1 + ε/a
1 - ε/a

左辺、右辺とも１に収束するので　 Xn+1
Xn		 　→　1

a＜0 の場合は　−Xn について同様に考えればよい。

証明終

◆東京都　サボテン さんからの解答。

反例：xn=n-nの時
xn≠0かつ　 Xn+1
Xn		 　→0(ｎ→∞)

真の命題:

xnが0以外の値に収束するならば、 Xn+1
Xn		 　→1 (n→∞)

証明：

任意のε＞0に対して、ある自然数Nが存在して、
N＞nで | Xn+1
Xn		 -1|＜εとなることを証明する。

|xn|→A(＞0)　 (n→∞)と置く。

仮定よりある自然数Nが存在して、N＞nで
|xn+1-xn|＜ Aε
2		 かつ|xn|＞A
2

よって| Xn+1
Xn		 -1|= |xn+1-xn|
|xn|		 ＜ε

証明終

◆高知県　blue さんからの解答。

偽である。

＜反例＞
x[n]= 1
2n		とおく。
lim
n→∞		 x[n]=0だが、
x[n+1]
x[n]		 =1
2n+1		 /1
2n		 = 2n
2n+1		 =1
2		 より
lim
n→∞		x[n+1]
x[n]		 =1
2		≠1

x[n]=1
n!		とおく。
lim
n→∞		x[n]=0だが、
x[n+1]
x[n]		 = 1
(n+1)!		 /1
n!		 =n!
(n+1)!		 =1
n+1		 より
lim
n→∞		x[n+1]
x[n]		 =0≠1

x[n]= (-1)n
n		 とおく。
-1
n		 ≦(-1)n
n		 ≦1
n		より
はさみうちの定理から lim
n→∞		x[n]=0だが、
x[n+1]
x[n]		 = (-1)n+1
n+1		 /(-1)n
n		 =-n
n+1		 より
lim
n→∞		x[n+1]
x[n]		 =-1≠1


命題を次のように変える。
（※）x[n]が0以外の値に収束するならば、 x[n+1]
x[n]		 →1

(証明)

x[n]がα(≠0)に収束するとすると、
∀ε＞０　∃n(ε)∈N　s.t.　n≧n(ε)　→　｜x[n]-α|＜ε

このとき n+1＞n≧n(ε)より｜x[n+1]-α|＜ε
よって　x[n+1] もαに収束する。

故に、lim
n→∞		 x[n+1]
x[n]		 =
lim
n→∞		 x[n+1]
lim
n→∞		 x[n]
= α
α		 =1

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