『x[n+1]/x[n]→1?』

『x[n+1]/x[n]→1?』解答


◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。

反例:Xn = 1
2n
→ 0
Xn+1
Xn
= 1
2
◆正しい命題の前提:

Xn が 値a (≠0)に収束するならば、

証明:

任意のε>0について自然数Nが存在し
 n>N ならば | Xn - a| < ε 。

a>0 とする。

a - ε <Xn<a + ε から

1 - ε/a
1 + ε/a
Xn+1
Xn
1 + ε/a
1 - ε/a

左辺、右辺とも1に収束するので  Xn+1
Xn
 → 1

a<0 の場合は −Xn について同様に考えればよい。

証明終


◆東京都 サボテン さんからの解答。

反例:xn=n-nの時
xn≠0かつ  Xn+1
Xn
 →0(n→∞)

真の命題:

xnが0以外の値に収束するならば、 Xn+1
Xn
 →1 (n→∞)

証明:

任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在して、
N>nで | Xn+1
Xn
-1|<εとなることを証明する。

|xn|→A(>0)  (n→∞)と置く。

仮定よりある自然数Nが存在して、N>nで
|xn+1-xn|<
2
かつ|xn|>A
2

よって| Xn+1
Xn
-1|= |xn+1-xn|
|xn|
<ε

証明終


◆高知県 blue さんからの解答。

偽である。

<反例>
x[n]= 1
2n
とおく。
lim
n→∞
x[n]=0だが、
x[n+1]
x[n]
=1
2n+1
/1
2n
= 2n
2n+1
=1
2
より
lim
n→∞
x[n+1]
x[n]
=1
2
≠1

x[n]=1
n!
とおく。
lim
n→∞
x[n]=0だが、
x[n+1]
x[n]
= 1
(n+1)!
/1
n!
=n!
(n+1)!
=1
n+1
より
lim
n→∞
x[n+1]
x[n]
=0≠1

x[n]= (-1)n
n
とおく。
-1
n
(-1)n
n
1
n
より
はさみうちの定理から lim
n→∞
x[n]=0だが、
x[n+1]
x[n]
= (-1)n+1
n+1
/(-1)n
n
=-n
n+1
より
lim
n→∞
x[n+1]
x[n]
=-1≠1


命題を次のように変える。
(※)x[n]が0以外の値に収束するならば、 x[n+1]
x[n]
→1

(証明)

x[n]がα(≠0)に収束するとすると、
∀ε>0 ∃n(ε)∈N s.t. n≧n(ε) → |x[n]-α|<ε

このとき n+1>n≧n(ε)より|x[n+1]-α|<ε
よって x[n+1] もαに収束する。

故に、lim
n→∞
x[n+1]
x[n]
=
lim
n→∞
x[n+1]

lim
n→∞
x[n]
= α
α
=1


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