◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
反例:Xn = | 1 2n | → 0 |
Xn+1 Xn |
= | 1 2 |
Xn が 値a (≠0)に収束するならば、
証明:
任意のε>0について自然数Nが存在し
n>N ならば | Xn - a| < ε 。
a>0 とする。
a - ε <Xn<a + ε から
1 - ε/a 1 + ε/a |
< | Xn+1 Xn |
< | 1 + ε/a 1 - ε/a |
左辺、右辺とも1に収束するので | Xn+1 Xn |
→ 1 |
a<0 の場合は −Xn について同様に考えればよい。
証明終
◆東京都 サボテン さんからの解答。
反例:xn=n-nの時
xn≠0かつ | Xn+1 Xn |
→0(n→∞) |
真の命題:
xnが0以外の値に収束するならば、 | Xn+1 Xn |
→1 (n→∞) |
証明:
任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在して、
N>nで | | Xn+1 Xn |
-1|<εとなることを証明する。 |
|xn+1-xn|< | Aε 2 |
かつ|xn|> | A 2 |
よって| | Xn+1 Xn |
-1|= | |xn+1-xn| |xn| |
<ε |
証明終
◆高知県 blue さんからの解答。
偽である。
<反例>
x[n]= | 1 2n | とおく。 |
lim n→∞ |
x[n]=0だが、 |
x[n+1] x[n] |
= | 1 2n+1 |
/ | 1 2n |
= | 2n 2n+1 |
= | 1 2 | より |
lim n→∞ | x[n+1] x[n] |
= | 1 2 | ≠1 |
x[n]= | 1 n! | とおく。 |
lim n→∞ | x[n]=0だが、 |
x[n+1] x[n] |
= | 1 (n+1)! |
/ | 1 n! |
= | n! (n+1)! |
= | 1 n+1 |
より |
lim n→∞ | x[n+1] x[n] |
=0≠1 |
x[n]= | (-1)n n |
とおく。 |
-1 n |
≦ | (-1)n n |
≦ | 1 n | より |
はさみうちの定理から | lim n→∞ | x[n]=0だが、 |
x[n+1] x[n] |
= | (-1)n+1 n+1 |
/ | (-1)n n |
= | -n n+1 | より |
lim n→∞ | x[n+1] x[n] |
=-1≠1 |
(※)x[n]が0以外の値に収束するならば、 | x[n+1] x[n] |
→1 |
故に、 | lim n→∞ |
x[n+1] x[n] |
= |
| = | α α |
=1 |