数学の部屋へもどる◆福岡県 中山 さんからの解答
【問題１】
最短で、８手の操作で１４にすることができる。
「２倍する」操作を○、「最後の桁を消す」操作を×とすると、
以下の３４通り×○×○○○×○
×○×○○○○×
×○○×○○×○
×○○×○○○×
×○○○×○×○
×○○○×○○×
×○○○○××○
×○○○○×○×
×○○○○○××
○××○○○×○
○××○○○○×
○×○×○○×○
○×○×○○○×
○×○○×○×○
○×○○×○○×
○×○○○××○
○×○○○×○×
○×○○○○××
○○××○○×○
○○××○○○×
○○×○×○×○
○○×○×○○×
○○×○○××○
○○×○○×○×
○○×○○○××
○○○××○×○
○○○××○○×
○○○×○××○
○○○×○×○×
○○○×○○××
○○○○×××○
○○○○××○×
○○○○×○××
○○○○○×××
【問題２】
求める二数をそれぞれａ，ｂ
（ａ≦ｂ，ａ＞０，ｂ＞０）とすると、条件より、
ａ×ｂ＝１０(ａ＋ｂ)が成り立てばよい。
これを変形すると、
ａ×ｂ−１０(ａ＋ｂ)＝０
ａ(ｂ−１０)−１０ｂ＝０
ａ(ｂ−１０)−１０(ｂ−１０)−１００＝０
(ａ−１０)(ｂ−１０)＝１００
ａ−１０，ｂ−１０＞０の場合だけを考えればよい。
(ａ−１０，ｂ−１０) ＝(１，１００)，(２，５０)，(４，２５)，(５，２０)，(１０，１０)よって
(ａ，ｂ) ＝(１１，１１０)，(１２，６０)，(１４，３５)，(１５，３０)，(２０，２０) (答) (１１，１１０)，(１４，３５)，(１５，３０)，(２０，２０)の４組
◆神奈川県 shake男 さんからの解答
【問題１】
２倍 ２倍 ２倍 ２倍 消す 消す 消す ２倍
方法：
一番上の位に７が現れるまで２倍し続ける．
７が出たら，消すを繰り返して７だけ残す．
あとは２倍
【問題２】
ふたつの自然数をa,bとすると,題意より
ab=10(a+b)
∴(a-10)(b-10)=100
A=a-10,B=b-10とおけば AB=100
a,bは自然数だからA,Bは-10以上の整数.
このうち上式を満たすA,Bの組は
(A,B)=(1,100),(2,50),(4,25),(10,10),(20,5)
求めるものは(a,b)なので,
∴(11,110),(12,60),(14,35),(20,20),(30,15) -(答)
◆東京都 じっさん さんからの解答
【問題１】
２倍→２倍→２倍→２倍→消す→消す→消す→２倍
で１４になります。
ついでに、全ての数が１４にできます。
以下の手順で可能です。
まず、「２倍」を繰り返し、先頭を１にします。
２倍していけば必ず繰り上がりが起き、その時の先頭は必ず１になります。
次に、その１を残して「消す」を繰り返し、１にします。
次に、「２倍」を７回行い、１２８にします。
次に、「消す」を１回行い、１２にします。
次に、「２倍」を６回行い、７６８にします。
次に、「消す」を２回行い、７にします。
最後に、「２倍」を１回行い、１４にします。
【問題２】
２数をＡとＢとおきます。
ＡＢ＝１０（Ａ＋Ｂ） を解きます。
ＡＢ−１０Ａ−１０Ｂ＝０
Ａ（Ｂ−１０）−１０（Ｂ−１０）＝１００
（Ａ−１０）（Ｂ−１０）＝２＊２＊５＊５
Ａ≧Ｂの解は、
（Ａ−１０，Ｂ−１０）
＝(100,1),(50,2),(25,4),(20,5),(10,10),
(-1,-100),(-2,-50),(-4,-25),(-5,-20),(-10,-10)
（Ａ，Ｂ）
＝(110,11),(60,12),(35,14),(30,15),(20,20),
(9,-90),(8,-40),(6,-15),(5,-10),(0,0)
この中で、Ａ，Ｂとも自然数であり、(60,20)でもない解は、以下の４つ。
答え：110と11, 35と14, 30と15,20と20
◆ 問題へもどる
◆ 今週の問題へ