『今週の問題』第93回　解答

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答

【問題１−１】

D D D C C B G H H

【問題１−２】

可能
C C C B B B B B B A A A
A A A A A A G G G F F F
F F F E E E E E E E E E

３６回は最小です。

この問題は　パラメータが８つありますが,
A+B+C+D ＋E+F+G+H＝０　なので独立ではありません。
逆に７つは独立です。

どこでもよいのではありませんが、この場合は　H行とD列上の７個を目標に近づけるのが分かりやすい。
H行D列の'１６'はすでに目標値なので、H-D=0

H行上の残りの３個は都合よく目標より全部大きく、E,F,Gをそれぞれ目標まで、一方D列の残り３個も都合よく目標より小さく、A,B,Cをそれぞれ目標まで作用させればよい。

従って、H=D=0でよい。結局　

(13-4)+(14-8)+(15-12)+(13-4)+(14-8)+(15-12)=36です。

なお、最小手順はたぶん

1. H行上４マスの目標との差の最小を０以上にするまで　H　を作用させる。
   ０になった列をZ列とよぶ。

2. （A、B、C、D)ーZを各々作用させ　H　行を目標値にする。

3. Z列上４マスの目標との差の最大を０以下にするまで　Z　を作用させる。
   ０になった列をY行とよぶ。

4. Y＝Hなら　E、F、Gを作用させ　Z列を目標値にし終了。

5. Y≠Hなら　（E、F、G、H)ーY　を作用させZ列を目標値にし、
   再度（A、B、C、D)ーZを各々作用させ　H　行を目標値にし終了。

【おまけ】

442	187	969
65	330	95
273	77	266

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１−１】

B C C D D D G H H
９回の操作

【問題１−２】

A A A A A A A A A G G G
F F F F F F E E E E E E
E E E B B B B B B C C C

３６回の操作

【おまけ】

A群（３個の素因数）→ ４隅に入る（３方向）

　２６６＝２*７*１９
　４４２＝２*１３*１７
　２７３＝３*７*１３
　９６９＝３*１７*１９

B群（２個の素因数）→（２方向）

　６５＝５*１３ 　９５＝５*１９ 　７７＝７*１１ 　１８７＝１１*１７

C群（４個の素因数）→ 中央に入る（４方向）

　３３０＝２*３*５*１１

上記のように分類される。

２*７*１９ ２６６	５*１９ ９５	３*１７*１９ ９６９
７*１１ ７７	２*３*５*１１ ３３０	１１*１７ １８７
３*７*１３ ２７３	５*１３ ６５	２*１３*１７ ４４２

回転等を許すと８通り。

◆静岡県　yoshi さんからの解答

【問題１−１】

D D D C C B H H G

【問題１−２】

A A A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B
C C C C C C
D D D
E E E E E E E E E E E E
F F F F F F F F F
G G G G G G
H H H

【おまけ】

解答例

273	77	266
65	330	95
442	187	969

65,77,95,187,266,273,330,442,969をそれぞれ、
65＝5×13､77＝7×11､･･･のように表す。

そして､まず中央に330を入れる。
次に､330のとなり(上下左右どこでも可)に
65，77，95，187のいずれかを入れる。

その他のところはつじつまが合うように数値を入れれば簡単に出来る。

◆千葉県　緑川正雄 さんからの解答

【問題１−１の回答】

B1回　C2回　D3回

【問題１−２の回答】

A9回　B6回　C3回　E9回　F6回　G3回

【おまけの回答】

 65=5×13
 77=7×11
 95=5×19
187=11×17
266=2×7×19
273=3×7 ×13
330=2×3×5×11
442=2×13×17
969=3×17×19

a	b	c
d	e	f
g	h	i

素因数を4つ持つ数をeに配置する。
　e=330

素因数を3つ持つ数は、a,c.g,iに配置する。
これを266,273,442,969から選ぶ。

a=266,c=273と選ぶと
bはGCM(266,273)=7で割りきれる素因数が2つの数であるから
b=77

g=442,i=969と選ぶと
hはGCM(442,969)=17で割りきれる素因数が2つの数であるから
h=187

以上より、

2×7×19	7×11	3×7×13	共通素因数7
d	2×3×5×11	f
2×13×17	11×17	3×17×19	共通素因数17
共通素因数2	11	3

残った数65,95は2.3ともに約数に持たないので、
2×13×17と3×17×19を入れ換える。

2×7×19	7×11	3×7×13	共通素因数7
d	2×3×5×11	f
3×17×19	11×17	2×13×17	共通素因数17
共通素因数19	11	13

この時f=65,d=95と置くと以下の解を得る。

共通素因数2 　　　　　＼				共通素因数3 ／
	266	77	273	共通素因数7
	95	330	65	共通素因数5
	969	187	442	共通素因数17
共通素因数	19	11	13

◆愛知県高校生　あんでぃ〜 さんからの解答

“実験”を用いて解く場合は、行･列１つずつ順番に着目する。

【問題１−１】

E行に着目すると、
（1,2,3,4）→（1,1,1,1）

減らすためには、列を操作するしかないので、B,C,Dをそれぞれ1,2,3回クリックする。

もう一度、行で見てやると、
FはOK、Gはすべて+1、Hはすべて+2

よって答えは、
B C C D D D G H H
（実は順不同。順番はまったく影響しない）

【問題１−２】

同様に、E行に着目。
（1,2,3,4）→（1,5,9,13）

今度は増やさなければならない。
増やすには行をクリックするしかないので、
最大の数13にあわせて、Eを9回クリック。

次に、A,B,Cと順番に列を見ていくと、当然（E行において）不足な数字は無く、それぞれ1,5,9になるように、 A,B,Cを9,6,3回クリックする。

同じようにしてA列に着目して数字をあわせると解ける。

よって手順は、
E E E E E E E E E
A A A A A A A A A
B B B B B B
C C C
F F F F F F
G G G

【問題１−２について】

答えは上で述べたように、できる。

ではいったい、どういった場合にできるのだろうか。

Aをクリックした回数をa、Bをクリックした回数をb、･･･　とする。

すると、(A,E)=1-a+e のように表せる。
よって、未知数8個に対し、16個の式が立つ。

つまり、この8元連立方程式の解が、すべて一つずつ存在するときに、“可能”となる。

例えば問1-2だと、

1-a+e=1 2-b+e=5
3-c+e=9 4-d+e=13
5-a+f=2 6-b+f=6
7-c+f=10 8-d+f=14
9-a+g=3 10-b+g=7
11-c+g=11 12-d+g=15
13-a+h=4 14-b+h=8
15-c+h=12 16-d+h=16

を解いて、a〜gの解が一つずつであればよい。
（てか、解が存在しない場合がＸ）

ただ、これを解くのは結構面倒だ。
何か他にもっと良い方法があるだろうか。
けど思いつかないから、とりあえず正攻法。

【おまけ】

65=5*13、77=7*11、95=5*19
187=11*17、266=2*7*19、273=3*7*13
330=2*3*5*11、442=2*13*17、969=3*17*19 より、順に決定する。

まず、素因数の個数が

３	２	３
２	４	２
３	２	３

となるのは明らか。
（その点を通る直線の数を数えればよい。）

よって、中央は330。
次に２個の場合を見てみると、
5,5,7,11,11,13,17,19 で構成されている。

ゆえに、2行目もしくは2列目で、5or11がそろうことになる。

330=2*3*5*11より、斜めで、2or3がそろう。

このことを考慮して並べていくと、

例）

266	95	969
77	330	187
273	65	442

が、一つの答えとなる。

また、４つ角を決めると残りは自動的に決まる･･･だろう？
よって8通り｡｡｡かな？

◆鹿児島　ともひろ さんからの解答

【問題１−１】

【解】

B C C D D D G H H

【問題１−２】

【解】

できる。
A A A A A A A A A
B B B B B B
C C C
G G G
F F F F F F
E E E E E E E E E

【説明】

下記のような行列を考える。

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

　↓

1	5	9	13
2	6	10	14
3	7	11	15
4	8	12	16

の変化は

0	+3	+6	+9
-3	0	+3	+6
-6	-3	0	+3
-9	-6	-3	0

となる。

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈの各ボタンを押すごとに、

A (a)

-1	0	0	0
-1	0	0	0
-1	0	0	0
-1	0	0	0

B (b)

0	-1	0	0
0	-1	0	0
0	-1	0	0
0	-1	0	0

C (c)

0	0	-1	0
0	0	-1	0
0	0	-1	0
0	0	-1	0

D (d)

0	0	0	-1
0	0	0	-1
0	0	0	-1
0	0	0	-1

E (e)

+1	+1	+1	+1
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

F (f)

0	0	0	0
+1	+1	+1	+1
0	0	0	0
0	0	0	0

G (g)

0	0	0	0
0	0	0	0
+1	+1	+1	+1
0	0	0	0

H (h)

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
+1	+1	+1	+1

が各要素に加算される。

これらの行列を「Ａ〜Ｈ」として、それぞれの加算する回数を(a)〜(h)とすると、

0	+3	+6	+9
-3	0	+3	+6
-6	-3	0	+3
-9	-6	-3	0

は、

aA + bB + cC + dD + eE + fF + gG + hH で表せる。

行列内の要素i行j列目を、Ｎijで表すと、
ここでi = jの場合、要素は「0」となるので、
a = e、b = f、c = g、d = hとなり、

a(A + E) + b(B + F) + c(C + G) + d(D + H)

は、

0	+a	+a	+a
-a	0	0	0
-a	0	0	0
-a	0	0	0

0	-b	0	0
+b	0	+b	+b
0	-b	0	0
0	-b	0	0

0	0	-c	0
0	0	-c	0
+c	+c	0	+c
0	0	-c	0

0	0	0	-d
0	0	0	-d
0	0	0	-d
+d	+d	+d	0

0	+a-b	+a-c	+a-d
-a+b	0	+b-c	+b-d
-a+c	-b+c	0	+c-d
-a+d	-b+d	-c+d	0

0	+(a-b)	+(a-c)	+(a-d)
-(a-b)	0	+(b-c)	+(b-d)
-(a-c)	-(b-c)	0	+(c-d)
-(a-d)	-(b-d)	-(c-d)	0

ここで、

a-b = 3　a-c = 6　a-d = 9
b-c = 3　b-d = 6　c-d = 3

を満たすので、可能である。

（証明終わり）

【おまけ】

【解】

273 (3x7x13)	77 (7x11)	266 (2x7x19)
65 (5x13)	330 (2x3x5x11)	95 (5x19)
442 (2x13x17)	187 (11x17)	969 (3x17x19)

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