数学の部屋へもどる◆東京都 DoubleClick さんからの解答
【問題１】
上からm番目,左からn番目の数を a(m,n) とします。
また、A,B,C,D の領域の数を加算する操作をそれぞれ A,B,C,D と表し
それらの回数をそれぞれ
n(A),n(B),n(C),n(D) と表します。
a(2,2)は A,B,C,D のどの操作を行ったときにも 加算されるので
a(2,2) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) です。
また、
a(1,1)はA, a(1,3)はB,
a(3,1)はC, a(3,3)はD を行ったときだけ数字が加算されるので
a(1,1)=n(A), a(1,3)=n(B),
n(3,1)=n(C), n(3,3)=n(D) です。
a(2,2) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) より
a(2,2) = a(1,1) + a(1,3) + a(3,1) + a(3,3)
すなわち、左上・右上・左下・右下の数の和が中央の数となります。
問題1では 3+2+2+1 = 8 だからこの表を作ることは可能です。
そして、それぞれの操作の回数は
A: 3回 B: 2回 C: 2回 D: 1回 です。
当然、その順序は問いません。
【問題２】
18≠4+5+6+7 ですので 問題1より導いた事項よりこのような表にすることは不可能です。
【おまけ】
たとえば、積が1000となる場合 :
| 20 | 1 | 50 |
| 25 | 10 | 4 |
| 2 | 100 | 5 |
ちなみに それぞれの数字は 100の約数です。
作った手順です。
n0.5 を中央におき、ペアの数が中央をはさんで向かい合うようにします。
◆鹿児島県 ともひろ さんからの解答
【問題１】
【解】
実験図において、Ａを３回・Ｂを２回・Ｃを２回・Ｄを１回のボタンを押す。
（順不同）
解答例1
Ａ−Ａ−Ａ−Ｂ−Ｂ−Ｃ−Ｃ−Ｄ
解答例2
Ｄ−Ｃ−Ａ−Ｂ−Ａ−Ｂ−Ａ−Ｃ
【説明】
マス目において、ｉ行目・ｊ列目の数字を Ｐ(i,j)と表現する。
| P(1,1) | P(1,2) | P(1,3) |
| P(2,1) | P(2,2) | P(2,3) |
| P(3,1) | P(3,2) | P(3,3) |
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄボタンを押したときに+1加算されるマス目のみを表すと、
| Ａ | P(1,1) | P(1,2) | P(2,1) | P(2,2) | |||||
| Ｂ | P(2,1) | P(2,2) | P(3,1) | P(3,2) | |||||
| Ｃ | P(1,2) | P(1,3) | P(2,2) | P(2,3) | |||||
| Ｄ | P(2,2) | P(2,3) | P(3,2) | P(3,3) |
P(2,2)は常に１加算されていく。
「Ａのボタンのとき、P(1,1)」、
「Ｂのボタンのとき、P(1,3)」、
「Ｃのボタンのとき、P(3,1)」、
「Ｄのボタンのとき、P(3,3)」は他のボタンの影響を受けない。
よって、どのボタンを何回押したかはこの数字をみればよい。
P(1,2) = P(1,1) + P(1,3)
P(3,2) = P(3,1) + P(3,3)
P(2,1) = P(1,1) + P(3,1)
P(2,3) = P(1,3) + P(3,3)
P(2,2) = P(1,1) + P(1,3) + P(3,1) + P(3,3)
で表すことができる。
【問題２】
【解】
できない。
【証明】
上記図より、P(2,2)=18であるが、
P(1,1)=2 , P(1,3)=6 ,
P(3,1)=4 , P(3,3)=8
よって、
P(1,1) + P(1,3) + P(3,1) + P(3,3)
= 2 + 6 + 4 + 8
= 20
P(2,2) ≠ P(1,1) + P(1,3) + P(3,1) + P(3,3)
なので、図のような表にすることはできない。
（証明終わり）
【おまけ】
【解】
| 2 | 64 | 32 |
| 256 | 16 | 1 |
| 8 | 4 | 128 |
この図では、縦・横・対角線の数字をかけた、各値は
「16384 (= 214)」となる。
ただし、マス目の各数字は、ｎ（ｎ≧２）の指数で表すことができて、解は無限に存在する。
【説明】
| P(1,1) | P(1,2) | P(1,3) |
| P(2,1) | P(2,2) | P(2,3) |
| P(3,1) | P(3,2) | P(3,3) |
題意は、縦・横・対角線の各積が等しい魔法陣であるから、
P(1,1) * P(1,2) * P(1,3)
＝ P(2,1) * P(2,2) * P(2,3)
＝ P(3,1) * P(3,2) * P(3,3)
P(1,1) * P(2,1) * P(3,1)
＝ P(1,2) * P(2,2) * P(3,2)
＝ P(1,3) * P(2,3) * P(3,3)
P(1,1) * P(2,2) * P(3,3)
＝ P(1,3) * P(2,2) * P(3,1)
ここで、縦・横・対角線の各和が等しい魔法陣、
| ２ | ７ | ６ |
| ９ | ５ | １ |
| ４ | ３ | ８ |
より、
2+7+6=9+5+1=4+3+8=15
2+9+4=7+5+3=6+1+8=15
2+5+8=4+5+6=15
よって、ｎを整数とすると、
ｎ2+7+6=ｎ9+5+1=ｎ4+3+ 8
n2*n7*n6=n9*n5*n1=n4*n3*n8
とおける。
ｎ2+9+4=ｎ7+5+3=ｎ6+1+8
ｎ2+5+8=ｎ4+5+6 も同様。
ところで、ｎ0 = 1であり、これは題意を満たす。
そこで、各和が等しい魔法陣のマス目の各数字より１を引いた魔法陣を考える。
| １ | ６ | ５ |
| ８ | ４ | ０ |
| ３ | ２ | ７ |
縦・横・対角線の各和は14である。
題意を満たす縦・横・対角線の各積が等しい魔法陣は、
各積の値が「ｎ14」の数を考えればよい。
題意を満たす解は、
P(1,1) = n1, P(1,2)=n6,P(1,3)=n5
P(2,1) = n8, P(2,2)=n4,P(2,3)=n0= 1
P(2,1) = n3, P(2,2)=n2,P(2,3)=n7
ただし、ｎ＝１のときはマス目の各数字は「１」となり、異なる数字ではなくなる。
よってｎ≧２となる。
◆東京都 じっさん さんからの解答
【おまけの問題】
べき乗にすれば掛け算は指数の足し算なので。。。
| ２2 | ２7 | ２6 |
| ２9 | ２5 | ２1 |
| ２4 | ２3 | ２8 |
積は２の１５乗で３２７６８。
全ての要素を２で割って、
| ２1 | ２6 | ２5 |
| ２8 | ２4 | １ |
| ２3 | ２2 | ２7 |
（積は４０９６）もＯＫですね。
でも、これだけではつまらないので、一般解を調べてみました。
| ａ | ｂ | ｃ |
| ｄ | ｅ | ｆ |
| ｇ | ｈ | ｉ |
とおき、積をＴとおく。
まず、
ａｅｉ×ｂｅｈ×ｃｅｇ＝Ｔ×Ｔ×Ｔ
左辺を並べ替えると、
ａｂｃ×ｇｈｉ×ｅｅｅ＝Ｔ×Ｔ×Ｔ
ａｂｃ＝ｇｈｉ＝Ｔなので、
Ｔ＝ｅの３乗となる。
これをもとに、ａ〜ｉをａ，ｅ，ｆの３つで表すと、以下のようになる。
| ａ | ｅｅｆ／ａａ | ａｅ／ｆ |
| ｅｅ／ｆ | ｅ | ｆ |
| ｅｆ／ａ | ａａ／ｆ | ｅｅ／ａ |
どの要素も整数になる。
簡単のためにｆ＝１とする。
また、ｅ＝ａｊとおく。
以下のようになる。
| ａ | ｊｊ | ａａｊ |
| ａａｊｊ | ａｊ | １ |
| ｊ | ａａ | ａｊｊ |
この９つの要素が全て異なればよい。
また、全てをｆ倍したものも解となる。
積が一番小さい解は、
多分ａ＝２，ｊ＝３とした以下の解でしょう。
| ２ | ９ | １２ |
| ３６ | ６ | １ |
| ３ | ４ | １８ |
積は２１６です。
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