数学の部屋へもどる◆鹿児島県 かわらばん さんからの解答
【問題１−１】
3通り
1-1-1,1-2,2-1
【問題１−２】
5通り
1-1-1-1,1-1-2,1-2-1,2-1-1,2-2
【問題１−３】
8通り
【問題１−４】
階段が n段あるとする。
n≧2のとき、n段の上り方の数は、n-1段の上り方と n-2段の上り方との合計数に等しい。
順番に求めていくと、階段が13段ある場合、上り方の数は377通りになる。
(答) 377通り
【問題２】
階段が n段あるとする。
n≧3のとき、n段の上り方の数は、n-1段の上り方と n-2段の上り方と n-3段の上り方の合計数に等しい。
順番に求めていくと、階段が13段ある場合、上り方の数は1,705通りになる。
(答) 1,705通り
【問題３】
階段の数を n段とおく。
n段の上り方の数は、n-2段の上り方と n-3段の上り方と n-5段の上り方の合計数に等しい。
順番に求めていくと、階段が13段の上り方は36通りある。
（答）36通り
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１−１】
１）１，１，１
２）１，２
３）２，１
答え ３通り。
【問題１−２】
１）１，１，１，１
２）１，１，２
３）１，２，１
４）２，１，１
５）２，２
答え ５通り。
【問題１−３】
１）１，１，１，１，１
２）１，１，１，２
３）１，１，２，１
４）１，２，１，１
５）２，１，１，１
６）１，２，２
７）２，１，２
８）２，２，１
答え ８通り。
【問題１−４】
F(0)=1,F(1)=1,F(2)=2
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
| 段数 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
答え ３７７通り。
フィボナッチ数列ですね。
【問題２】
トリボナッチ数列ですね。
F(0)=1,F(1)=1,F(2)=2,
F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)
| 段数 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 4 | 7 | 13 | 24 | 44 | 81 | 149 | 274 | 504 | 927 | 1705 |
答え １７０５通り。
【問題３】
１）＞＞ ０ ２）＞＞ １ ２ ３）＞＞ １ ３ ４）＞＞ １ ２＋２ ５）＞＞ ３ ２＋３，３＋２，５ ６）＞＞ ２ ６−２＝４＞＞１ ６−３＝３＞＞１ ６−５＝１＞＞０ ７）＞＞ ５ ７−２＝５＞＞３ ７−３＝４＞＞１ ７−５＝２＞＞１ ８）＞＞ ６ ８−２＝６＞＞２ ８−３＝５＞＞３ ８−５＝３＞＞１ ９）＞＞ ８ ９−２＝７＞＞５ ９−３＝６＞＞２ ９−５＝４＞＞１ １０）＞＞１４ １０−２＝８＞＞６ １０−３＝７＞＞５ １０−５＝５＞＞３ １１）＞＞１６ １１−２＝９＞＞８ １１−３＝８＞＞６ １１−５＝６＞＞２ １２）＞＞２７ １２−２＝１０＞＞１４ １２−３＝９＞＞８ １２−５＝７＞＞５ １３）＞＞３６ １３−２＝１１＞＞１６ １３−３＝１０＞＞１４ １３−５＝８＞＞６n≧6
答え ３６通り。
考え方は同じですね。
F( 7 )= 5
F( 8 )= 6
F( 9 )= 8
F( 10 )= 14
F( 11 )= 16
F( 12 )= 27
F( 13 )= 36
DIM F(13)
LET F(1)=0
LET F(2)=1
LET F(3)=1
LET F(4)=1
LET F(5)=3
FOR I=6 TO 13
LET F(I)=F(I-2)+F(I-3)+F(I-5)
PRINT "F(";I;")= ";F(I)
NEXT I
END
◆大阪府 ＣＨＥＣＫ さんからの解答
【問題１−４】
ｎ段目の階段を１段または２段で登る方法をｆ(ｎ)とする。
このとき，ｎ段目に到達する一つ前の時点では
ｎ−１もしくはｎ−２段目にいるはずである。
そして，それぞれの段からｎ段目に到達する方法はそれぞれ１通りずつである。
よって，帰納的に
ｆ(ｎ)＝ｆ(ｎ−１)＋ｆ(ｎ−２)の関係が成り立つ。
ただし，ｎ＞１，ｆ(０)＝１，ｆ(１)＝１とする。
階段が１３段の場合は上の関係式にあてはめて，
ｆ(１３) ＝ｆ(７)＋６ｆ(６)＋１５ｆ(５)＋２０ｆ(４)＋１５ｆ(３)＋６ｆ(２)＋ｆ(１) ＝１４４ｆ(２)＋８９ｆ(１) ＝２３３ｆ(１)＋１４４ｆ(０) ＝３７７通り
【問題２】
上の問題と同様にして，
ｆ(ｎ)＝ｆ(ｎ−１)＋ｆ(ｎ−２)＋ｆ(ｎ−３)が成り立つ。
ただし，
ｆ(０)＝１，ｆ(１)＝１，ｆ(２)＝２とする。
よって，ｆ(１３)＝１７０５通り
【問題３】
上の問題と同様にして，
ｆ(ｎ)＝ｆ(ｎ−２)＋ｆ(ｎ−３)＋ｆ(ｎ−５)が成り立つ。
ただし，
ｆ(０)＝１，ｆ(１)＝０，ｆ(２)＝１，ｆ(３)＝１，ｆ(４)＝１
よって，ｆ(１３)＝３６通り
◆愛知県 ノースダウン さんからの解答
【問題１−１】
３通り
１−１−１
２−１
１−２
【問題１−２】
５通り
１−１−１−１
２−１−１
１−２−１
１−１−２
２−２
【問題１−３】
８通り
【問題１−４】
ｎ段の時の上り方＝ｎ−１段の時の上り方＋ｎ−２段の時の上り方
＃つまりフィボナッチ数列
１３段の時の上り方＝３７７通り
【問題２】
ｎ段の時の上り方は
１）ｎ−３段まで上って、３段上る。
２）ｎ−２段まで上って、２段上る。
３）ｎ−１段まで上って、１段上る。
を足した数になる
０段上る＝１
１段上る＝１
２段上る＝２
３段上る＝４
４段上る＝７
（一部省略）
１３段上る＝１７０５通り
【問題３】
問題２とほぼ同じように考え、 ｎ段の時の上り方は
１）ｎ−５段まで上って、３段上る。
２）ｎ−３段まで上って、２段上る。
３）ｎ−２段まで上って、１段上る。
を足した数になる
ただし、１段上る数を０通りと考える。（ここがミソ）
０段上る＝１
１段上る＝０
２段上る＝１
３段上る＝１
４段上る＝１
５段上る＝３
６段上る＝２
７段上る＝５
８段上る＝６
（一部省略）
１３段上る＝３６通り
◆千葉県の小学校３年生 緑川 敦 さんからの解答
【問題１−１】
3通り
1-1-1、1-2、2-1
【問題１−２】
5通り
1-1-1-1、1-2-1、1-1-2、2-1-1、2-2
【問題１−３】
8通り
1-1-1-1-1、2-1-1-1、1-2-1-1、1-1-2-1、
1-1-1-2、2-2-1、2-1-2、1-2-2
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１−４】
377通り
階段がn段あるときの上り方の個数をa(n)とする。
a(1)=1,a(2)=2
n≧3とする。
(ア)n=2m+1の場合
2m段の階段を上る方法がa(2m)通りある。 …(1)
2m-1段の階段を上る方法がa(2m-1)通りある。…(2)
2m+1段の階段を上る方法は
1-<(2)の上り方>-1 …a(2m-1)通り
<(1)の上り方の中途に一段のみ上る>…a(2m)通り
よって、a(2m+1)=a(2m-1)＋a(2m)
(イ)n=2mの場合
(ア)と同様にa(2m)=a(2m-2)＋a(2m-1)
以上より a(n)=a(n-1)＋a(n-2)
a(1)=1,a(2)=2を順次代入して、
a(3)=3,a(4)=5,a(5)=8,a(6)=13,
a(7)=21,a(8)=34,a(9)=55,a(10)=89
a(11)=144,a(12)=233,a(13)=377
【問題２】
1705通り
階段がn段あるときの上り方の個数をa(n)とする。
a(1)=1,a(2)=2,a(3)=4,
【問題１】と同様に、n≧3の時
a(n)=a(n-1)＋a(n-2)＋a(n-3)を得る。
a(4)=7,a(5)=13,a(6)=24,a(7)=44,
a(8)=81,a(9)=149,a(10)=274,a(11)=504,
a(12)=927,a(13)=1705
【問題３】
36通り
a(1)=0,a(2)=1,a(3)=1,a(4)=1,a(5)=3,
【問題１】と同様に、n≧6の時
a(n)=a(n-2)＋a(n-3)＋a(n-5)を得る。
a(6)=2,a(7)=5,a(8)=6,
a(9)=8,a(10)=14,a(11)=16,
a(12)=27,a(13)=36
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