◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
１＋２＋３＋４＝１０
【問題２】
１＋２＋３＋４＋５＝１５
４＋５＋６＝１５
７＋８＝１５
【問題３】
１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１
６＋７＋８＝２１
１０＋１１＝２１
【問題４】
１，２，４，８
【おまけ１】
２k，ｋ≧０
【おまけ２】
最初の数 Ｍ
最後の数 Ｍ＋Ｎ−１
ガウスの方法から
|
(Ｍ＋Ｍ＋Ｎ−１)Ｎ ２ | ＝ |
（Ｎ＋２Ｍ−１）Ｎ ２ |
これが２k，ｋ≧０ Ｍ，Ｎ，Ｋは整数
|
（Ｎ＋２Ｍ−１）Ｎ ２ | ＝２k |
（Ｎ＋２Ｍ−１）Ｎ＝２k+1．．．．．（１）
右辺は偶数であるからＮは奇数でなければならない。
しかし同時に右辺は奇数の素因数を持たない。
これは矛盾である。
◆京都府 sambaGREEN さんからの解答
【問題１】
１０＝１＋２＋３＋４
【問題２】
１５＝７＋８，
１５＝４＋５＋６，
１５＝１＋２＋３＋４＋５
【問題３】
２１＝１０＋１１，
２１＝６＋７＋８，
２１＝１＋２＋３＋４＋５
【問題４】
１，２，４，８
【おまけ１】
２n（ｎ＝０，１，２，３・・・・）
【おまけ２】
整数Ｎが，
ａ，ａ＋１，ａ＋２，・・・，ａ＋ｂ （ｂ≧１）の
（ｂ＋１）個の和として表されたとすると，
| Ｎ＝ |
(２ａ＋ｂ)(ｂ＋１) ２ | から |
１は奇数，２ａは偶数であるから，(1)の右辺の一方は１より大きい奇数である。
従って，Ｎは１以外の奇数を因数として持たなければならない。
逆にＮが奇数ｐ(ｐ＞１)を因数として持ち，
２Ｎ＝ｐｑと表されるとすると，
ｐ＞ｑのとき，２ａ＋ｂ＝ｐ，ｂ＋１＝ｑ
ｐ＜ｑのとき，２ａ＋ｂ＝ｑ，ｂ＋１＝ｐ を解けば，ａ，ｂが得られる。
［例の１８のとき］
２Ｎ＝３６であり，ｐ＝３，９
そのとき，ｑ＝１２，ｑ＝４
２ａ＋ｂ＝１２，ｂ＋１＝３ から
ａ＝５，ｂ＝２ → Ｎ＝５＋６＋７
２ａ＋ｂ＝９ ，ｂ＋１＝４ から
ａ＝３，ｂ＝３ → Ｎ＝３＋４＋５＋６
よって，整数Ｎは（１以外の奇数の約数の個数）通りの和の形で表されるから，
Ｎ＝２n（ｎ＝０，１，２，３・・・・）のときは分解できない。
◆兵庫県の中学校１年生 ドラメッド三世 さんからの解答
【問題１】
1+2+3+4=10
【問題２】
1+2+3+4+5=15
4+5+6=15
7+8=15
【問題３】
1+2+3+4+5+6=21
6+7+8=21
10+11=21
【問題４】
1,2,4,8
【おまけ１】
2のｎ乗になっている。
1,2,4,8
【おまけ２】
p個並んでいるとし，a+(a+1)+…+b (a＜b)とすると，
| 平均は |
ａ＋ｂ ２ | です． |
| これからできる整数は， |
p(a+b) ２ | です． |
つぎに，並んだ個数が，奇数個の場合と偶数個の場合に分けて考えます。
●奇数個の場合：
2のｎ乗はpでは割り切れないので，奇数個並んだ場合は無理です。
●偶数個の場合：
偶数個並んでいるので，aかbのどちらかが奇数であり，どちらかが偶数です。
つまり，a+bは奇数です。
よって，2のｎ乗はa+bでは割り切れないので，偶数個並んだ場合は無理です。
これは，a+b=1ならあてはまりますが，その場合aは負の整数になってしまいます。
よって，どのばあいでも2のｎ乗は連続した正の整数の和で表すことができません。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
【問題１】
1+2+3+4＝10
【問題２】
1+2+3+4+5＝15
4+5+6＝15
7+8＝15
【問題３】
1+2+3+4+5+6＝21
6+7+8＝21
10+11＝21
【問題４】
3＝1+2
5＝2+3
6＝1+2+3
7＝3+4
9＝2+3+4
なので、1,2,4,8が求める答えです。
【おまけ１】
1＝20
2＝21
4＝22
8＝23
ということで2の累乗の形をしています。
【おまけ２】
2m(m＝0,1,2,.....)型の整数が2つ以上の連続したした整数の和で表せると仮定すると、
ある、n,aが存在して
n+(n+1)+.....+(n+a)＝2m .....(A) とおける。
左辺＝(a+1)n+a(a+1)/2＝(a+1)(2n+a)/2 となります。
ここで、2nは偶数であり、
1)a＝奇数とすると、
a+1＝偶数、2n+a＝奇数 となり、(A)の左辺を因数分解すると奇数因子がありますが、右辺は2(偶数因子)しかありませんので、素因数分解の一意性に反します。
よって、矛盾となります。
2)a＝偶数とすると、
a+1＝奇数、2n+a＝偶数 となり、(A)の左辺を因数分解すると奇数因子がありますが、右辺は2(偶数因子)しかありませんので、素因数分解の一意性に反します。
よって、矛盾となります。
以上より2m(m＝0,1,2,.....)型の整数が2つ以上の連続したした整数の和で表せない。
(補足)
2m(m＝0,1,2,.....)型以外の整数が2つ以上の連続したした整数の和で表せることの証明
1)ある整数Nが奇数のときは明らかに、(N-1)/2は偶数で
(N-1)/2+{(N-1)/2+1}＝N で、
(N-1)/2および(N-1)/2+1は連続した２つの整数です。
2)ある整数Nが偶数(かつ２の累乗以外)のときは、
N=2l×s(1)t(1)×s(2)t(2)×....
ここで、
s(1)＜s(2)＜..... で、s(1),s(2),.....は奇数(＞1)
t(1),t(2),.....＞0、l＞0 とかける。
N/s(1)＝2l×s(1)t(1)-1×s(2)t(2)×....＝N(1) とおくと、
N(1)を中心として、
.....+{N(1)-1}+N(1)+{N(1)+1}+..... の形で項の個数s(1)個の数Mを考えると
N(1)より右側にも左側にも{s(1)-1}/2個、整数(＞0)が存在すれば.....(※1)
M＝N(1)×s(1)＝N であることがわかり、Nは連続する整数の和で表わせる。
ここで、上記(※1)の条件を求めてみると、
2-1)
N(1)-{s(1)-1}/2＞0 のときO.K.で、
2-2)
これ以外のとき、即ちN(1)-{s(1)-1}/2≦0 のとき不可である。
さて、
a) l＞1 のとき、
a-1) t(1)＞1 のとき、明らかに2-1)が成り立つ。
a-2) t(1)＝1 のとき、
{s(1)-1}/2＜s(2)なので、N(1)-{s(1)-1}/2＞N(1)-s(2)＞0 で
2-1)が成り立つ。
b) l＝1 のとき、
b-1) t(1)＞1 のとき、
s(1)t(1)-1-{s(1)-1}/2＞0 より、
2-1)が成り立つ。
b-2) t(1)＝1 のとき、
s(2)t(2)×....＝U とおくと、
b-2-1) U≠1 のとき、
N(1)＝2×U で、U＞{s(1)-1}/2 なので
N(1)＝2×U＞U＞{s(1)-1}/2 より
2-1)が成り立つ。
b-2-2) U＝1 のとき、N(1)＝2 で、
2-{s(1)-1}/2＞0 を解いて、5＞s(1) で、
s(1)は、奇数(＞1)なので、s(1)＝3
即ち、s(1)＝3 のとき、2-1)が成り立つ。
s(1)≧5 のとき、2-2)となる。
即ち、N＝2×s(1) (s(1)≧5) のとき、.....(※2)
2-1)は成り立たない。
ここで、(※2)のとき、
V＝(n-1)＋n+(n+1)+(n+2) .....(※3)
なる整数を考えて、V＝4n+2＝2(2n+1) で、
s(1)＝2n+1 とおいて、nについて解けば４つの連続する数が求められる。
よって、(※2)のときは、Nは(※3)の形でかける。
以上より、2の累乗以外の数字は2つ以上の連続する整数の和で表わされる。
また、具体的な求め方も上記に従えばできます。
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１】
1+2+3+4=10
【問題２】
1+2+3+4+5、4+5+6、7+8の3通り
［理 由］
1+2+3=6は5に引き続く数であるから4+5+6=15は求める解である。
1+2=3と3を4,5の各々にたした数7,8は7+8=15を満たす
よって、1+2+3+4+5、4+5+6、7+8の3通りある。
【問題３】
1+2+3+4+5+6、6+7+8、10+11
［理 由］
1+2=3と3を4,5の各々にたした数7,8は6に引き続く数であるから6,7,8の和は21である。
1+2+3+4=10,5+6=11も連続した数であるから10+11=21
【問題４】
1,2,4,8
［理 由］
1+2=3
2+3=5
1+2+3=6
3+4=7
2+3+4=4+5=9
1+2+3+4=10
より明らかである。
【おまけ１】
2の冪乗で表される数
【おまけ２】
p,qを自然数とする。但しp≧2とする。
(q+1)+(q+2)+(q+3)+……+(q+p)=p(p+2q+1)÷2…(1)
である。
式(1)が2の冪乗で表される数であると仮定する。
適当な自然数rに対して
p(p+2q+1)÷2=2r が成立する。
p(p+2q+1)=2r+1
p≧2であり、右辺は2の冪乗で表される数だから
p，p+2q+1も2の冪乗で表されなくてはならない。
しかし、p+2q+1は明らかに奇数である。
よって、式(1)が2の冪乗で表される数であるという仮定は誤りである。
即ち、連続した２つ以上の正の整数の和は2の冪乗では表されない。
◆大阪府 mitsu さんからの解答
【問題１】
１＋２＋３＋４＝１０
の１通りです．
これ以外には，ありません．
【問題２】
１＋２＋３＋４＋５＝１５
４＋５＋６＝１５
７＋８＝１５
の３通りです．
【問題３】
１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１
６＋７＋８＝２１
１０＋１１＝２１
の３通りです．
【問題４】
１は分解できません．(自明)
２も１＋１にしかならないので，分解できません．
３以上の奇数は，１を引いて２で割り，その答えの数と，先に引いた１を加えた数は，２つの連続した数になり，その和は元の数ですから，必ず２つ以上の連続した正の整数の和になります．
したがって，３，５，７，９は，連続した数の和で表せます．
４，６，８は，具体的に調べますと，
１＋２＋３＝６で，４と８は連続した整数の和に分解できません．
まとめると，１桁の正の整数で，２つ以上の連続した正の整数の和として表せないのは，
１，２，４，８となります．
【おまけ１】
(一桁の分解できない数だけのパターンですが，)
２nになっています．
【おまけ２】
この問題は数式を使います．
連続したｎ個の数の和に分解できたとします．
そのうち一番小さな数をａとすると，
それらの合計ｓは，初項ａ，等差１の数列の合計値ですから，
ｓ＝（ａ＋（ａ＋ｎ−１））×ｎ÷２
＝（２ａ＋ｎ−１）×ｎ÷２となります．
ｎが偶数のときは，２ａ＋ｎ−１が奇数，
ｎが奇数のときは，ｎそのものが奇数ですから，
ｓを素因数分解したとき，少なくとも１つは奇数の因数を含むことになります．
したがって２nの形をした数字は，奇数の素因数は持たないので，連続した整数の和では表せないことになります．
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