『今週の問題』第80回　解答

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１】

１階から５階まで４階上がるのに５秒かかる。

１階から２５階まで２４階上がるには、
５×２４／４＝３０（秒）

２０階から５階まで２０階下がるるには、
５×２０／４＝２５（秒）

エレベータでの移動に３０＋２５＝５５（秒）

５分間仕事をしたのであるから、８時５分５５秒に自分の会社に着いたことになる。

答え　８時５分５５秒。

【問題２】

機能するボタンを押すしかない。
また無意味なことをしなければ、可能階であれば、着くことが出来る。

　１回目　１３−８＝５
　２回目　５＋１３＝１８
　３回目　１８−８＝１０
　４回目　１０−８＝２
　５回目　２＋１３＝１５
　６回目　１５−８＝７
　７回目　７＋１３＝２０
　８回目　２０−８＝１２
　９回目　１２−８＝４
１０回目　４＋１３＝１７
１１回目　１７−８＝９
１２回目　９−８＝１
１３回目　１＋１３＝１４
１４回目　１４−８＝６
１５回目　６＋１３＝１９
１６回目　１９−８＝１１
１７回目　１１−８＝３
１８回目　３＋１３＝１６
１９回目　１６−８＝８
途中すべてのの階を通過している。

【問題３】

エスカレータの階段数をＸ段とする。

エスカレータの移動の速さをＹ段／分、
足の遅い子の移動の速さをＺ段／分、
足の速い子の移動の速さを３Ｚ／分とする。

３Ｚ* Ｘ
――――――――
Ｙ＋３Ｚ		 ＝７５．．．(1)

Ｚ* Ｘ
――――――――
Ｙ＋Ｚ		 ＝５０．．．(2)

（１）、（２）から
Ｙ＝Ｚ、Ｘ＝１００

答え　１００段、足の遅い子の速さはエスカレータのそれと同じ。

◆熊本県　言うクリッド さんからの解答

【問題１】

８時５分５５秒です。

４階移動するのに５秒かかるので、１階から２５階までは２４階の移動なので
登りが、２４階÷４階×５秒＝３０秒

５分仕事をしたあと、２５階から５階まで２０階分の移動なので
２０階÷４階×５秒＝２５秒

全部合わせて、３０秒＋５分＋２５秒＝５分５５秒　となります。

【問題２】

下上下下上下上下下上下下上下上下下上下
５1810２15７2012４17９１14６1911３16８

【問題３】

エレベーターの速度を毎秒ａ段、遅いほうの子どもの速度を毎秒ｂ段とすると
速い子どもの速度は毎秒３ｂ段と表せる。

速いほうの子どもが７５段上がるのにかかる時間は
７５÷３ａ秒なので、その間にエレベーターが上がるのは
７５÷３ａ×ｂ

同様にして遅いほうの子どもが５０段上がるのにかかる時間は
５０÷ａ秒で、その間にエレベーターが上がるのは
５０÷ａ×ｂとなる。

したがって、エレベーターの段数は、
速いほうの子どもでは
　７５÷３ａ×ｂ＋７５
遅いほうの子どもでは
　５０÷ａ×ｂ＋５０　となるので

７５÷３ａ×ｂ＋７５＝５０÷ａ×ｂ＋５０

この方程式を解くと、ａ＝ｂとなり、遅いほうの子どもとエレベーターの速さは等しいということになる。
よって、遅いほうのこどもが５０段上がる間にエレベーターは５０段進むので、エレベーターの段数は１００段となる。

◆山梨県　加藤竜一 さんからの解答

【問題１】

ひっかかんないもんねぇ。

５階まで上がったら５秒だから、２５階まで上ると２５秒かかると思うでしょ。
でもね、１階から５階まで上るときには４階分しか上ってないんだな。
でね、同じように、１階から２５階まで上るときには、２４階分しか上ってないんだな。
これは、１階から２階に上るときに１階分上がって、１階から３階に上るのには２階分でしょ．．．．．

っていうように考えていくと分かるんだな。
ふ〜、危なかった。

ってことで、１階から５階まで、４階分を上がるのに５秒かかってるから、その６倍の２４階分（２５階まで）上がるのには、
５×６＝３０（秒）かかっていて、
２５階から５階に戻るには、２０階分移動してるから、４階分（５秒）の５倍で、
５×５＝２５（秒）かかる、と。

だから、エレベーターに乗っていた時間が全部で５５秒。
用事をしていた時間が５分だから、
８時５分５５秒　が答えでしょう。

でもね、用事を済ませてすぐにエレベーターに乗れる訳じゃないし、エレベーターを待つ時間もあるし．．．．．．
結局着いたのは８時８分頃かな。

【問題２】

普通はこんな不便なエレベーターはないけどなぁ。

まあ、それはそれとして、
上を＋として、
13UPの回数をｘ、8DOWNの回数をｙとしましょう。
当然ｘ、ｙは負でない整数です。

考える式は、
８＝１３＋１３ｘ−８ｙ
ｙ＝ ５＋１３ｘ
――――――――
８

これを成り立たせるためには、ｘ＝７（上に７回）
よって、ｙ＝１２（下に１２回）

８階以外にいるときには、このエレベータはどちらかに動けて、また、どちらかにしか動けないので、 ８階までの道筋（日本語正しい？）は一通りしかないはず。

書いてみよう。

下上下下上下上下下上下下上下上下下上下

行き着く階は、順に、

5,18,10,2,15,7,20,12,4,17,9,1,14,6,19,11,3,16,8

となる。

で、ここで問題。

(1)このエレベーターはどうやって１３階まで来たでしょう。
(2)このエレベーターは、８階に着いた後にどうしたでしょう？
（動けなくなっちゃうでしょ。）

さて、それはそれとして、

【問題３】

速い子どもが一番上に着いたとき（７５段走ったとき）に、
遅い子どもは、速い子どもの１／３の速さで進んでるから２５段上がってるのね。

で、遅い子どもは全部で５０段走った事が分かってるから、この時、遅いほうの子どもは半分の高さまで来てるわけだ。

遅い子が２５段上がって半分の高さにいて、早い子が７５段上がって一番上にいるんだから、
半分から上に残っている段数は５０段、と。

上が５０段だから下も５０段（半分だからね）で、併せて１００段見えてるぞと。

で、遅いほうの子どもは２５段上がっただけなのに、５０段目まで来てるんだから、自分が走った速さの、ちょうど倍の早さで進んでるのね。
ということは、エスカレーターは、遅い方の子と同じ速さで動いているわけだ。

ほんとうは、図とかを付けるともっと分かりやすいんだけどねぇ。

◆愛知県　ノースダウン さんからの解答

【問題２】

上昇が１３階、下降が８階かつビルが２０階建てなので、８階にいる時を除き、上昇するか下降するかの選択の余地がない。

直感的回答：
　上昇か下降かの可能なボタンを押していく。
　（他の選択肢は無い）

数学的回答
８階にいるとき以外は、１３階の上昇あるいは８階の下降が可能である。
かつ、８階からスタートして”８階の上昇と１３階の下降”を繰り返す事により、
１階から２０階までの８階を除く全ての階に到達できる事が確かめられる。

→どの階からスタートしても、８階に到達できる。
ボタンは、上昇か下降かの可能なボタンを押す。

【問題３】

エスカレーターの見えている段数をＸ
エスカレーターの速度をＶe
足の速い子の速度をＶ1
足の遅い子の速度をＶ2　
足の速い子が駆け上がるのに要した時間をｔ1
足の遅い子が駆け上がるのに要した時間をｔ2　と置く

７５＝Ｖ1＊ｔ1
５０＝Ｖ2＊ｔ2が成立するので、

ｔ1＊ｔ2＝１：２

よって、
２＊（ｘ−７５）＝ｘ−５０
→ｘ＝１００

また、
ｖ1＋Ｖe＝２＊（Ｖ2＋Ｖe）より、
３＊Ｖ2＋Ｖe＝２＊Ｖ2＋２＊Ｖe

よって、Ｖe＝Ｖ2

回答：エスカレーターの段数は１００段
　　　足の遅い子とエスカレーターの速さは同じ

◆大阪府　mitsu さんからの解答

【問題１】

１階から５階まで，４つの階を移動するのに，このエレベータは５秒かかります．

１階から２５階までは，２４個の階を移動しなければなりませんから，
２４÷４＝６(４階分の移動が６回)で，
５秒×６＝３０秒かかります．

同じように２５階からＡさんの会社(５階)までは
２４−４で，２０階分(４階分の移動が５回)降りないといけません．
したがって５秒×５＝２５秒かかります．

時間を累計していくと，会社に着いたのが８時ちょうど，
Ｂさんの会社に着いたのが８時０分３０秒，
Ｂさんの会社を出たのが８時５分３０秒，
Ａさんの会社に着いたのは８時５分５５秒となります．

【問題２】

１つ目のボタンをおすと＋１３階，もうひとつのボタンを押すと−８階となります．
題意は，初期値が１３で，＋１３または−８を何回か加えて，８にすることです．

見方を変えると，現在の１３に１３の何倍かを加えて，８の何倍かを引いて，その結果が８になればよいということです．

さらに，もとの階が１３ですから，１３の何倍から，８の何倍かを引いて，その結果が，８になるようにすればいいことになります．

また，結果が８ですから，さらに見方を変えると，１３の何倍かが８の何倍かになるように 調整すればいいことがわかります．

１３と８は互いに素ですから，
結局１３の８倍と，８の１３倍を組み合わせることになります．

もともと１３階にいたので，１３の７倍すなわち，１つ目のボタンを７階押し，
最後に８階にいたいので，８の１２倍
すなわち，もうひとつのボタンを１２回押せばよいことになります．

ただし，途中の値が１から２０でないといけないことです．
ですから，少なくとも１３階分あがるボタンは２回続けて押せないことになります．

これらの，条件に合うように操作手順を示しますと，

初期値＝１３階，
８階さがる＝５階，
１３階あがる＝１８階，
８階下がる＝１０階
８階下がる＝２階，
１３階あがる＝１５階，
８回下がる＝７階，
１３階あがる＝２０階，
８階下がる＝１２階，
８階下がる＝４階，
１３階あがる＝１７階
８階下がる＝９階，
８階下がる＝１階，
１３階あがる＝１４階，
８階下がる＝６階，
１３階あがる＝１９階，
８階下がる＝１１階，
８階下がる＝３階，
１３階あがる＝１６階，
８階下がる＝８階　となります．

目論見どおり，１３階あがるが７回，８階下がるが１２回となっています．

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