数学の部屋へもどる◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１−１】
６−１＝５ ５を相手に渡す。
５−１＝４ ４−３＝１
５−２＝３ ３−２＝１
５−３＝２ ２−１＝１
となり必勝。
【問題１−２】
７−２＝５ ５を相手に渡す。
以下問題１−１と同じ。
【問題１−３】
２１−１７−１３−９−５ を相手に渡す。
したがって、先手を取り、２１を選ぶ。
【問題２−１】
７−１＝６ ６を相手に渡す。
６−１＝５ パス
５−１＝４ ４−３＝１
５−２＝３ ３−２＝１
５−３＝２ ２−１＝１
６−２＝４ ４−３＝１
６−３＝３ ３−２＝１
となり必勝。
【問題２−２】
２２−１８−１４−１０−６ を相手に渡す。
したがって、先手を取り、２２を選ぶ。
【問題３】
２０−１４−８ を自分が取るようにする。
したがって、後手を選ぶ。
◆愛知県 ノースダウン さんからの解答
【問題１−４】
１）４ｎ＋１残るように引く
２）先手の場合、２１を選ばない。
（４−相手の引いた数）を引いていけば、
常に４ｎ＋１と残るようにできる。
【問題２−１】
１を引く（６残る）
１）相手が２を引いた場合３を引けば１残る→勝ち
２）相手が３を引いた場合２を引けば１残る→勝ち
３）相手が１を引いた場合
→パスする
→５残っていて相手はパスできないので、１か２か３を引かなければならない
続いて、（４−相手の引いた数）を引けば、１残る→勝ち
【問題２−２】
１）６残るまで、４ｎ＋２残るように引く。
２）その後は【問題２−１】のパターンで勝ち。
３）先手の場合、２２を選ばない。
相手には、常に偶数が残るので、パスできない
【問題３】
１）残りが８になるまで、６ｎ＋２残るようにする。
ａ）６ｎ＋３（９，１５，．．．）の場合、１を引く
ｂ）６ｎ＋４（１０，１６，．．．）の場合、２を引く
ｃ）６ｎ＋５（１１，１７，．．．）の場合、３を引く
ｄ）６ｎ＋６（１２，１８，．．．）の場合、パス
３の倍数なので、パス可能。
かつ相手は、１か２か３を引かなければならないので、
ａ）〜ｃ）のパターンに必ずなる。
ｅ）６ｎ＋７（１３，１９，．．．）の場合、パス。
奇数なのでパス可能。
相手がひいた後は、ｂ）〜ｄ）のパターンになる。
２）残りが８にした後、下記で勝ち。
ａ）残り７（８から１を引いた）場合→パス
ｂ）残り６（８から２を引いた又は７から１を引いた）場合→パス
ｃ）残り５（８から３又は７から２又は６から１を引いた）場合→パス
ｄ）残り４〜２の場合→１残すように引く。
最後から求めていくと比較的分かり易いですね。
問題１は見た覚えがあったので問題２、３に応用しました。
◆東京都 小林 祐介 さんからの解答
【１−１〜４】
この問題は相手が引き算をした結果の値から帰納的に必勝か必負かを決定することができます。
相手が引き算をした結果の値をnとすると
●n＝2,3,4
それぞれ1,2,3を引けば勝ちなので必勝。
●n＝5
何を引いても相手がn＝2,3,4となるので必負。
●n＝6,7,8
それぞれ1,2,3を引けば相手がn＝5となるので必勝。
●n＝9
何を引いても相手がn＝6,7,8となるので必負。
以下n＝6〜9のパターンの繰り返しとなるのでmを自然数とすると
n＝4m,4m−1,4m−2は必勝となり
n＝4m−3は必負となります。
以上より
１−１の答：１を引く
１−２の答：２を引く
１−３の答：１を引く
１−４の答：先手をとって21を選び、
相手がn＝4m−3となるよう数字を引いていく。
【問題２−１〜２】
問題１と同様に考えると
●n＝2,3,4
それぞれ1,2,3を引けば勝ちなので必勝。
●n＝5
パスをすれば相手が数字を引いてn＝2,3,4となるので必勝。
●n＝6
何を引いても相手が必勝となるので必負。
●n＝7,8,9
それぞれ1,2,3を引けば相手がn＝6となるので必勝。
●n＝10
何を引いても相手が必勝となるので必負。
以下n＝7〜10のパターンの繰り返しとなるのでmを自然数とすると
n＝2,3,4m,4m＋1,4m＋3は必勝となり
n＝4m＋2は必負となります。
以上より
２−１の答：１を引く
２−２の答：先手をとって22を選び、上述のように
相手がn＝4m＋2となるよう数字を引いていく。
【問題３】
問題１と同様に考えると
●n＝2,3,4
それぞれ1,2,3を引けば勝ちなので必勝。
●n＝5
パスをすれば相手が数字を引いてn＝2,3,4となるので必勝。
●n＝6
パスをすれば相手が数字を引いてn＝3,4,5となるので必勝。
●n＝7
パスをすれば相手が数字を引いてn＝4,5,6となるので必勝。
●n＝8
何を引いても相手に必勝となるので必負。
●n＝9,10,11
それぞれ1,2,3を引けば相手がn＝8となるので必勝。
●n＝12
パスをすれば相手が数字を引いてn＝9,10,11となるので必勝。
●n＝13
パスをすれば相手が数字を引いてn＝10,11,12となるので必勝。
●n＝14
何を引いても相手に必勝となるので必負。
以下n＝9〜14のパターンの繰り返しとなるのでmを自然数とすると
n＝2,3,4,5,6m,6m＋1,6m＋3,6m＋4,6m＋5は必勝となり
n＝6m＋2は必負となります。
以上より
答：後手をとって、上述のように
相手がn＝6m＋2となるよう数字を引いていく。
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