に最も近い整数です。そして、
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
イ）２＋３９＋５＝４６ １９＋２７＝４６
ロ）１９＋２＋１１＝３２ ２７＋５＝３２
【問題２】
答え ４５。 12 35 6 11 14 45
12 35 6 11 14 51
12 35 6 11 14 57
12 35 6 11 14 59
12 35 6 11 14 62
12 35 6 11 14 63
12 35 6 11 14 65
12 35 6 11 14 68
12 35 6 11 14 69
12 35 6 11 14 70
12 35 6 11 14 71
12 35 6 11 14 73
12 35 6 11 14 74
12 35 6 11 14 75
12 35 6 11 14 76
12 35 6 11 14 77
12 35 6 11 14 79
12 35 6 11 14 80
12 35 6 11 14 81
12 35 6 11 14 82
12 35 6 11 14 83
12 35 6 11 14 84
12 35 6 11 14 85
12 35 6 11 14 86
12 35 6 11 14 87
12 35 6 11 14 88
12 35 6 11 14 89
12 35 6 11 14 90
12 35 6 11 14 91
12 35 6 11 14 92
12 35 6 11 14 93
12 35 6 11 14 94
12 35 6 11 14 95
12 35 6 11 14 96
12 35 6 11 14 97
12 35 6 11 14 98
12 35 6 11 14 99
【参考】
和が最大となる８個の解
９９，９８，９７，９５，９２，８６，７５，５５
◆東京都 小林 祐介 さんからの解答
【問題１】
27＋５=19＋11＋２より先手の勝ち。
【問題４】
今ａ1からａnにおいて和が等しくなるような2組の数字の集まりがないとする。
題意よりａ1からａnのうちいくつかの和で表わされる数字は全て異なっていなければならず、その数は
２n−1
またａ1からａnの和で表わされる数字の最大値は
ａ1＋ａ2＋…＋ａn
≦99＋98＋…＋(100−n)
| ＝ |
n(199−n) ―――――― ２ |
ここで
|
n(199−n) ―――――― ２ | ≧２n−1 |
以上よりこのゲームは少なくとも10個の数字を書けば勝敗が決まる。
◆愛知県 ノースダウン さんからの解答
【問題１】
5+27=2+11+19=32
5+2+39=19+27=46
よって先手の勝ち
【問題２】
答え：４５
１〜４４では先手が勝ちになる。（下記は一例）
１： １＋１１＝１２ ２： ２＋１２＝１４ ３： ３＋１１＝１４ ４： ４＋１４＝６＋１２ ５： ５＋６＝１１ ６： ー ７： ７＋１１＝６＋１２ ８： ８＋１２＝６＋１４ ９： ９＋１４＝１１＋１２ １０： １０＋１１＋１４＝３５ １１： ー １２： ー １３： １３＋１２＝１１＋１４ １４： ー １５： １５＋１１＝１２＋１４ １６： １６＋１１＋１４＝６＋３５ １７： １７＝６＋１１ １８： １８＝６＋１２ １９： １９＋６＝１１＋１４ ２０： ２０＝６＋１４ ２１： ２１＋１４＝３５ ２２： ２２＋１１＋１４＝１２＋３５ ２３： ２３＝１１＋１２ ２４： ２４＋１１＝３５ ２５： ２５＝１１＋１４ ２６： ２６＝１２＋１４ ２７： ２７＋１４＝６＋３５ ２８： ２８＋６＋１２＝１１＋３５ ２９： ２９＝６＋１１＋１２ ３０： ３０＋１１＝３５＋６ ３１： ３１＝６＋１１＋１４ ３２： ３２＝６＋１２＋１４ ３３： ３３＋１４＝１２＋３５ ３４： ３４＋１２＝３５＋１１ ３５： ー ３６： ３６＋１１＝１２＋３５ ３７： ３７＋１２＝１４＋３５ ３８： ３８＋１１＝１４＋３５ ３９： ３９＋１４＝６＋１２＋３５ ４０： ４０＋６＝１１＋３５ ４１： ４１＝６＋３５ ４２： ４２＋１１＝６＋１２＋３５ ４３： ４３＝６＋１１＋１２＋１４ ４４： ４４＋１１＝６＋１４＋３５以上
【問題３】
反則技の回答
９９，９８，９７，９５，９２２，８６，７５，５５，−１０００
（１００より小さいとは書いてあるが、正のとは書いてない）
◆閑話休題
２通りの手法で探しましたが見つかりません。
求める９個の数を小さい順に
ｋ1，ｋ2，．．．，ｋ9とする。
１）ｋ1＝１として、順にｋ2，ｋ3，．．．を探す
この場合、最小のｋ2を探すと
ｋ2＝２
同様に、最小のｋ3＝４，
ｋ4＝８，．．．
と決定していくと、ｋ8＝１２８となる。
２）ｋ9＝９９として、順にｋ8，ｋ7，ｋ6と探す
この場合、最大のｋ8＝９８，
ｋ7＝９７，．．．（上記参照）
但しｋ9が定まりません。
（１〜５５のどの場合もＮＧ）
最大、最小の条件を外すと、より条件を満足しない方向になると思うのですが証明はできません。
【問題４】は、１０個数字を書いた時点で、勝敗が決まる事までは証明できたのですが９個でも証明できそうで、考え中です。
ＰＳ．９個の数字を決めれば、条件を満足する
（「和が等しくなるような２組の数の集まり」がない）
かどうかを暫定的に判定するプログラムを組んで判定しました。
条件を満足する９個の数字を求めるプログラムは、実際の計算時間の都合上、作成していません。
◆広島県 清川 育男 さんの【問題３】に対するレポート
規則性が少し見えてきました。
８個の解。
99 98 97 95 92 86 75 55 98 97 96 94 91 85 74 54 97 96 95 93 90 84 73 53 96 95 94 92 89 83 72 52 95 94 93 91 88 82 71 51 94 93 92 90 87 81 70 50 93 92 91 89 86 80 69 49 92 91 90 88 85 79 68 48 91 90 89 87 84 78 67 47 90 89 88 86 83 77 66 46 89 88 87 85 82 76 65 45 88 87 86 84 81 75 64 44 87 86 85 83 80 74 63 43 86 85 84 82 79 73 62 42ここまでは、先頭の数を１ずつ下げて、和が最大となるもので、共通していることは、それ以下の解がすぐ見つかり,また階差数列が、
85 84 83 81 78 72 40 20ここで階差数列に変化が見られます。
84 83 82 80 77 71 60 40階差数列
84 83 82 80 77 71 40 20階差数列
先頭が８３の場合は、上記すべてに共通していた、階差数列
１，１，２，３，６
83 82 81 79 76 70は解になりません。
99 98 97 95 92 86 53 20 99 98 97 95 92 86 52 20 99 98 97 95 92 86 51 20 .............................. 99 98 97 95 92 86 40 20 .............................. 99 98 97 95 92 85 44 21７番目は最低４０、８番目は最低２０を下回ることができないようです。
以上のような実験的アプローチから、９個の解は存在しない可能性が高いと思われます。
数学的な証明が待たれます。
◆参考
階差数列
１，１，２，３，６，１１，２０
数列サイトで検索して最も今回の問題に関係ありそうなものをつけ加えておきます。
ID Number: A005230 (Formerly M0785) Sequence: 1,1,2,3,6,11,20,40,77,148,285,570,1120,2200,4323,8498,16996, 33707,66844,132568,262936,521549,1043098,2077698,4138400, 8243093,16419342,32706116 Name: Stern's sequence: a(n+1) is sum of m preceding terms, where m(m+1)/2＜ n ＜ (m+1)(m+2)/2. References M. A. Stern, Aufgaben, J. Reine Angew. Math., 18 (1838), 100. Kreweras, G.; Sur quelques problemes relatifs au vote pondere, [ Some problems of weighted voting ] Math. Sci. Humaines No. 84 (1983), 45-63. Links: Index entries for "core" sequences Formula: Partial sums give Conway-Guy sequence A005318. Keywords: core,easy,nonn,nice Offset: 1 Author(s): sp,njas Extension: Description corrected by Mario Szegedy 9/96.
◆埼玉県 \aleph_0 さんからの解答
自然数nに対して、整数の集合
A＝{a1,a2,...,an} (0＜a1＜a2＜...＜an)
の部分集合の元の和がすべて異なるとき、Aを
異和（部分集合）集合((subset-)sum-distinct set)といいます。
このとき、
n＝9ならば、a＝a9≧100であることを以下で示します。
まず、N＝{1,2,...,n}とおき、I⊂Nに対して次のように定義する。
s(I)＝i∈I ai.
このとき仮定より、sは単射、すなわち、
(1) I,J⊂Nに対して、I≠J ⇒ s(I)≠s(J).
また明らかに、
(2) I⊂Nに対して、s(N−I)＝s(N)−s(I).
次に、I⊂Nに対して次のように定義する。
G(I)＝{K⊂N|s(K)＞s(I)},
L(I)＝{K⊂N|s(K)＜s(I)}.
このとき(2)より、
(3) I,K⊂Nに対して、K∈L(I) ⇔ N−K∈G(N−I).
この対応により、L(I)の元とG(N−I)の元は一対一に対応するから、
(4) #L(I)＝#G(N−I).
一方、s(I)＜s(J)のとき、Ｎのべき集合2Nは次のように直和分解される。
(5) 2N＝L(I)∪{I}∪(G(I)∩L(J))∪{J}∪G(J).
両辺の位数を比較すれば、
(6) 2n＝#L(I)＋#(G(I)∩L(J))＋#G(J)＋2.
ここで(1)より、
(7) #(G(I)∩L(J))≦s(J)−s(I)−1.
さて、n＝9のとき、
I＝{1,3,5}, K＝{2,4}, J＝N−Kとおけば、(4), (7)より、
#L(I)≦9C0＋9C1＋9C2＋9＋1＝1＋9＋36＋9＋1＝56, #G(J)＝#L(K)≦9C0＋9C1＋9＋1＝1＋9＋9＋1＝20, #(G(I)∩L(J))≦s(J)−s(I)−1＝a9＋a8＋a7＋a6−1≦a＋(a−1)＋(a−2)＋(a−3)−1＝4a−7.したがって(6)より、
ちなみに、ConwayとGuyは次のような例を与えています。([1]) まず、
u0＝0, u1＝1, uk＋1＝2uk−uk−r (k≧1)
と定義します。ただし、rはに最も近い整数です。そして、
ai＝un−un−i (1≦i≦n)
とおくと、A＝{a1,a2,...,an}は異和集合となると彼らは予想しました。
ごく最近、Bohmanがこの予想を証明しました。([2])
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