数学の部屋へもどる◆石川県 迷える羊 さんからの解答
【問題１−１】
それぞれの時計と実際の時刻との間でずれた時間は、
| （３＋ |
１８ ――― ６０ | ）【時】×２【分／時】 |
時計Ｂは時計Ａより１３分１２秒、進んでいる。
【問題１−２】
時計Ａは１時間の間に５８分だけ刻む時計であるから、
時計Ａが午後４時２１分を指しているとき実際の時刻は、
| （４＋ |
２１ ――― ６０ | ）÷ |
５８ ――― ６０ |
時計Ｂが指している時刻は、午後４時３９分。
【問題２】
１時間に３分遅れる時計とは１時間に５７分だけ刻む時計である。
この時計が１２時間分移動するのにかかる時間は、
| １２÷ |
５７ ――― ６０ |
約３７分５４秒遅れる。
【おまけ１・２】
どんな時でも正しく見える。
◆三重県 オンディー さんからの解答
【問題１−１】
| (3*2+ |
2 ―― 60 | *18)*2 |
【問題１−２】
| Ａは一分間で |
60 ―― 62 | 分ずつ動く。 |
本当の時間を求めると
| (4*60+21)* |
62 ―― 60 |
| =4*60+29+ |
7 ―― 10 |
| =４時２９分４２秒 |
Ａが進む時間とＢが遅れる時間は同じなので
４時２９分４２秒-４時２１分=８分４２秒
４時２９分４２秒+８分４２秒=４時３８分２４秒
【問題２】
| この時計は一分間で |
57 ―― 60 | 分ずつ動く。 |
Ｘ＝もとの時間とすると、
| Ｘ* |
57 ―― 60 | =12*60 |
| Ｘ=12*60* |
60 ―― 57 |
| =12*60+37+ |
53 ―― 60 | + |
13 ―― 19 | *60 |
よって約２４時３７分５４秒
よって約３７分５４秒遅れる。
【おまけ１】
いつでも正しい
【おまけ２】
いつでも正しい
◆東京都 小林 祐介 さんからの解答
【問題１−１】
3時間18分が経過した時、
時計Aは3時間18分＝198分より
|
198 ――― 60 | ×2(分)遅れ、時計Bは |
|
198 ――― 60 | ×2(分) 進んでいる。 |
よって時計Bは時計Aより
|
198 ――― 60 | ×2×2 |
| ＝ |
792 ――― 60 | (分) |
| ＝13分12秒 |
進んでいる。
答．１３分１２秒進んでいる
【問題１−２】
| 時計Bは時計Aの |
62 ―― 58 | 倍の速度で時間が経過するので、 |
時計Aで4時間21分＝261分経過した時には時計Bでは
| 261× |
62 ―― 58 | ＝279(分)＝4時間39分 |
経過している。
答．午後４時３９分
【問題２】
この時計で57分経過する間に実際には60分経過するので、
この時計で12時間＝720分経過する間に実際には
| 720× |
60 ―― 57 |
| ＝ |
43200 ―――― 57 | (分) |
| ≒12時間37分54秒(末尾四捨五入) |
経過する。
答．約３７分５４秒遅れる
【おまけ１・２】
ある目盛り上で時針と分針が重なる時刻は0時・12時のみなので、この時計の12時の目盛りは特定できる。
また12時から時間tが経過したとして、12時の方向と時計の時針・分針・秒針のなす角はそれぞれ
f(t)＝-f(-t)と表される。
よって鏡にうつった時計はつねに正しい時刻として読み取れる。
◆東京都 NaVi さんからの解答
【問題１−１】
問題の仮定は
「正確な時刻1分につき、時計Aは2秒遅れ、時計Bは2秒遅れる。」
と読みかえることができる。
午後3時18分は、正午より198分後である。
時計Aは 198×2＝396秒 遅れ、時計Bは 396秒 進んでいる。
この2つの差は792秒＝13分12秒。
【答】時計Bは、時計Aよりも 13分12秒 進んでいる
【問題１−２】
仮定より、時計Aが58秒経過するごとに正確な時刻は60秒経過する。
時計Aの午後4時21分は、正午から15660秒経過している。
15660÷58×60＝16200秒＝270分＝4時間30分
正確な時刻は午後4時30分である。
時計Bは1分につき2秒進むのだから、
270×2＝540秒＝9分進んでいる。
【答】時計Bは、午後4時39分をさしている
【問題２】
仮定より、時計が57秒経過するごとに、正確な時刻は60秒経過する。
12時から24時までの秒数は、
60×60×12＝43200秒。
この間に正確に時刻が経過するのは
| 43200÷57×60＝45473 |
39 ――― 57 | 秒。 |
時計Aとの差は、
| 2273 |
39 ――― 57 | 秒 ＝ 37分 53 |
39 ――― 57 | 秒。 |
| 【答】 37分 53 |
39 ――― 57 | 秒 遅れる |
【おまけ１】
各「00分」ちょうどの場合は、正しく読み取れることは明らかです。
「00分」ちょうどではない場合、、正視した時計の「00分」からの経過秒数(＝角度)は、鏡像では、つぎの「00分」までの秒数(＝角度)となります。
長針・短針ともにこれがあてはまるので、位置関係は矛盾しないはずです。
(うまく説明できませんが、理髪店などでみかける「裏返しの時計」を考えれば明かです。)
【答】常に正しい時刻として読み取れます。
【おまけ２】
【答】同様に、常に正しい時刻として読み取れます。
◆北海道 けんけん さんからの解答
【問題１−１】
正確な時刻が3時18分だから、正午から3.3時間進んだことになる。
よって時計Ａは6.6分遅れ、時計Ｂは6.6分進むこととなる。
この時、時計Ｂは時計Ａより13.2分
すなわち、13分12秒進んでいる。
【問題１−２】
時計Ａは1時間あたり58分進むのだから、このとき
|
４×６０＋２１ ―――――――― ５８ | ＝４．５ 時間 |
すなわち、この時の正確な時刻は午後4時30分であるから、時計Ｂは9分進んでいるということで、
答えは、午後4時39分
【問題２】
この時計は1時間につき、57分進む時計である。
この時計が問題文のように12時間進むには、
| １２× |
６０ ―――― ５７ |
すなわち、約０．６３１５７８９時間遅れるということだから、これを換算すればよい。
０．６３１５７８９時間
＝３７．８９４７３４分
＝３７分５３．６８４０４秒
≒３７分５４秒
【おまけ１と２】
鏡に映すということは、時計をちょうど逆回転させた状態であって、秒針も長針も短針も、等速運動をするので、針がどのような位置にあったとしても、鏡の中にある時計の秒針と長針と短針の位置関係は、常時矛盾せずある時刻として読み取ることができる。
◆大阪府 mitsu さんからの解答
【問題１−１】
時計Ａは１時間に２分ずつ遅れるので，１分間には２秒(２分わる６０)遅れます．
同様に時計Ｂは，１分間に２秒進みます．
ですから，時計Ｂは時計Ａにくらべると，１分間に４秒進むことになります．
正確な時刻が午後３時１８分ですから，正午から
３×６０＋１８で，１９８分経過しています．
したがって，時計Ｂは時計Ａより，
４秒×１９８＝７９２秒＝１３分１２秒進んでいます．
【問題１−２】
時計Ａは１時間に２分遅れるので，１時間に５８分進みます．
午後４時２１分は，正午から
４×６０＋２１＝２６１分後です．
この２６１分を５８分で割ると，４．５となります．
４．５というのは時間単位で表した正確な時間です．
ということは時計Ａが午後４時２１分を指しているとき，正確な時計は午後４時３０分です．
この差９分がここまでに時計Ａが遅れた時間です．
時計Ａの遅れ方と時計Ｂの進み方は同じなので，このとき時計Ｂは，９分進みの午後４時３９分となります．
【問題２】
１時間に３分遅れる時計は，正確な１時間に５７分進みます．
遅れる時計で１２時から２４時までの１２時間(７２０分)経過したのですから，正確な経過時間は
| ７２０÷５７＝１２ |
３６ ―――― ５７ | 時間です． |
| この |
３６ ―――― ５７ | が遅れた時間ですので， |
【おまけ１】
鏡に写った時計は，正常な時計と左右が逆になっています．
さて，１２時を基準にいくらか(たとえば１時間１２分)進んだ状態を考えてみましょう．
鏡に写った時計は，逆方向に進むと考えていいですから，別の見方をすると１２時までにあと１時間１２分を指していることになります．
結局，全ての時刻において，元の時計が指している時刻は，１２時からの経過時間を考えてみると，鏡に写った時計では「１２時までに，あとその経過時間だけある」ことになります．
したがって，常に時計として正しい時刻(針の位置)にあります．
【おまけ２】
おまけ１で全ての時刻において，長針と短針は正しい針の位置であることがわかりました．
秒針も逆周りに進みますから，同じ考えかたで，全ての時刻において正しい針の位置にあるといえます．
(たとえば１２時１７秒すぎであれば，鏡に写った時計は１２時までにあと１７秒の時刻を指しています．)
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１−１の回答】
13分12秒
【理由】
tを正しい時刻[単位：時]とする。
h(t),ha(t),hb(t)を各々正しい時計、時計A,時計Bの示す時刻とする。
h (t)=t …(1)
間違った時計A,Bも一様に進むので
ha(t)=a×t[aは定数]
hb(t)=b×t[bは定数] で表される。
時計Aは1時間に2分遅れるので、
| ha(1)=1- |
2 ―― 60 | = |
29 ―― 30 | 、 |
| よってa= |
29 ―― 30 |
時計Bは1時間に2分進むので、
| hb(1)=1+ |
2 ―― 60 | = |
31 ―― 30 | 、 |
| よってb= |
31 ―― 30 |
即ち、
| ha(t)= |
29 ―― 30 | ×t…(2) |
| hb(t)= |
31 ―― 30 | ×t…(3) |
3時18分即ち
| t=3+ |
18 ―― 60 | = |
33 ―― 10 | の時 |
| hb( |
33 ―― 10 | )-ha( |
33 ―― 10 | ) |
| =( |
31 ―― 30 | - |
29 ―― 30 | )× |
33 ―― 10 |
| = |
2 ―― 30 | × |
33 ―― 10 |
| = |
66 ―――― 300 |
| =0.22 [時間] |
よって13分12秒の時間差がある。
【問題１−２の回答】
4時39分
【理由】
時計Aが4時21分を示す時
| 4+ |
21 ―― 60 | =ha(t)= |
29 ―― 30 | ×tより |
| t=(4+ |
7 ―― 20 | )÷ |
29 ―― 30 | =4.5 |
よって、
| hb(t)= |
31 ―― 30 | ×t= |
279 ―――― 60 | =4+ |
39 ―― 60 |
時計Bは4時39分を示す。
【問題２の回答】
| 37分53 |
13 ―― 19 | 秒 |
【理由】
tを正しい時刻[単位：時]とする。
時計の示す時刻をh(t)とすると
h(t)=a×t+b[a,bは定数]
で表される。
12時に正しい時刻を示すので、
a×12+b=h(12)=12
1時間に3分遅れるので、正味1時間経過すると時計は
60-3=57(分)しか進まない。
| a=h(t)-h(t-1)= |
57 ―― 60 | = |
19 ―― 20 |
以上より
| a= |
19 ―― 20 | ,b= |
12 ―― 20 | = |
3 ―― 5 |
| h(t)= |
19 ―― 20 | ×t+ |
3 ―― 5 |
時計が24時を示した時、
即ち h(t)=24の時
| t= |
20 ―― 19 | ×(24- |
3 ―― 5 | ) |
| = |
20 ―― 19 | × |
117 ―――― 5 |
| = |
468 ―――― 19 |
| =24+ |
12 ―― 19 |
よって、
| t-h(t)= |
12 ―― 19 | (時間) |
|
12 ―― 19 | ×60= |
720 ――― 19 | =37+ |
17 ―― 19 |
|
17 ―― 19 | ×60= |
1020 ―――― 19 | =53+ |
13 ―― 19 |
| よって、37分53 |
13 ―― 19 | 秒 |
【おまけの回答】
常に正しい時刻に見える。
【おまけ１の理由】
時計の示す時刻をh(時)とする。
(0≦h＜12)
(case1) hが整数の時
分針は常に0をしめすので、観察される時刻は12-h(時)である。
(case2) hが整数でない時
h=n+t [n:0〜11の整数、0＜t＜1]で表現される。
時針の時計回りの角度は30×h
分針の時計回りの角度は360×t
これは、鏡に映して観察すると
時針の鏡に映した状態の時計回りの角度は
360-30×h=30×(12-h)
分針の鏡に映した状態の時計回りの角度は
360-360×t=360×(1-t)
と観察される。
鏡に映した状態の時針の示す時刻は、
30×(12-h)÷30=12-h=(11-n)+(1-t)
11-n:0〜11の整数、0＜1-t＜1であるから
11-n時(1-t)×60分を示す。
鏡に映した状態の分針の示す時刻を分で表すと、分針は1分に6度変化するので
360×(1-t)÷6=60×(1-t) [分]を示す。
時針と分針の表す単位[分]が等しいので、鏡にうつった時計は常に正しい時刻として読みとれる。
【おまけ２の理由】
時計の示す時刻をh(時)とする。
(0≦h＜12)
| h=n+ |
m ―― 60 | +t |
| [n:0〜11の整数、m:0〜59の整数、0＜t＜ |
1 ―― 60 | ] |
(case1) t=0の時
【おまけ１】に帰着する。
(case2) t≠0の時
時針の時計回りの角度は30×h
分針の時計回りの角度は
360×h≡6×m+360×t [mod360]
[(注):上の式の左辺と右辺は必ずしも整数とはならないが、差が360の整数倍になる場合の関係を示した]
秒針の21600×h≡21600×t [mod360]
これを鏡に映して観察すると、
時針の鏡に映した状態の時計回りの角度は
360-30×h=30×(12-h)
分針の鏡に映した状態の時計回りの角度は
360-(6×m+360×t)
秒針の鏡に映した状態の時計回りの角度は
360-21600×t=360×(1-60×t)
と観察される。
鏡に映した状態の時針の示す時刻は、
| 30×(12-h)÷30=12-h=(11-n)+(1- |
m ―― 60 | -t) |
| 0＜1- |
m ―― 60 | -t＜1であり、0＜t＜ |
1 ―― 60 |
11-n時(60-m)分60×(1-60×t)秒を示す。
鏡に映した状態の分針の示す時刻を分で表すと、分針は1分に6度変化するので
{360-(6×m+360×t)}÷6=60-(m+60×t) [分]を示す。
ところで、60-(m+60×t)=(59-m)+(1-60×t)
0＜1-60×t＜1であるから
分針の表す時刻は
60-m分60×(1-60×t)秒である。
鏡に映した状態の秒針の示す時刻を秒で表すと、秒針は1秒に6度変化するので
{360×(1-60×t)}÷6=60×(1-60×t)[秒]を示す。
以上より
時針と分針の表す単位[分]が等しい。
時針と分針と秒針の表す単位[秒]が等しい。
よって、鏡にうつった時計は常に正しい時刻として読みとれる。
◆京都府 sambaGREEN さんからのコメント
【おまけ問題についてのコメント】
実際に，逆転時計（数字は裏文字にはなってませんが）を持っています。
「もし，文明が南半球で発達していたらこうなったんだろうな」などと思いながら，脳に少し刺激を与えようかと思い買いました。
最初は戸惑いますが，慣れれば読めます。
しかし，電車で通勤するときだけは，使わない方がいいですよ。みなさん。
読み間違って余裕で歩いてて，電車に２回乗り遅れました。（爆）
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